Sottospazi e Basi

[A.l.e.c.s]

Si trovi una base per il sottospazio W di $R^4$ che ha le seguenti equazioni $\{(x - 6y + 5z - p = 0),(x - 5y - z +4p = 0):}$
C'è qualcuno ke mi riesce a svolgere questo esercizio. Io non riesco a trovare le variabili dipendenti e indipendenti. Grazie

[bugman]

Hai un sistema di due equazioni in 4 incognite. Le due equazioni sono linearmente indipendenti, ovvero una non è multipla dell'altra. Segue che il numero di parametri liberi sarà dato dalla differenza del numero di incognite e il numero di equazioni indipendenti, ovvero 2. Il perchè di tutto questo deriva dal fatto che il rango della matrice dei coefficenti è 2 (è equivalente a dire che le equazioni sono indipendenti) e che la dimensione dello spazio delle soluzioni, che poi è uguale al numero dei parametri liberi è dato dalla differenza del numero di equazioni e del rango della matrice dei coefficenti.
in questo caso non conviene ridurre la matrice dei coefficenti magari con l'eliminazione di Gauss ma conviene risolvere direttamente il sistema. Potresti esplicitare nella prima equazione la x, scrivendo $x=6y-5z+p$ e sostituendo questa relazione nella seconda equazione trovando dopo qualche semplificazione $y=6z-5p$. Sostituisci quanto trovato nella prima equazione. Troverai che $x=31z-29p$ . Ora hai trovato due equazioni in funzione di due parametri liberi. Ora chiamando magari $p=t$ e $z=s$ puoi riscrivere il sistema in questo modo
$x=31s-29t$
$y=6s-5t$
$z=s$
$p=t$

[_prime_number]

Devi sceglierle tu! Avrà dimensione $2=4-$num equazioni. Ad esempio poni $z=t_1, p=t_2$ e ricava le altre 2 in loro funzione.

Paola

[A.l.e.c.s]

bugman sei un grande...ottima spiegazione