Sottospazi di polinomi
avrei un dubbio s questo esercizio:
calcolare una base per il sottospazio $U={p(x)inRR[x]_3 : xp''-p'=0}$
come al solito ho svolto l'esercizio cercando un polinomio generico di $U$ partendo da un polinomio generico di $RR[x]_3$
quindi calcolando $x(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3)''-(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3)'=0$ ,derivando si ottiene
$2a_2x+6a_3x^2-a_1-2a_2x-3a_3x^2=0$ e quindi l'identità $a_1=3a_3x^2$
quindi il polinomio generico di $U$ sarebbe $a_0+3a_3x^2+a_2x^2+a_3x^3$
raccogliendo rispetto ai coefficienti diventa
$a_0+a_2x^2+a_3(3x^2+x^3)$ e $Span(1,x^2,3x^2+x^3)$ è un insieme di vettori linearmente indipendenti quindi dovrebbe essere una base,ma la soluzione dell'esercizio da la base ${1,x^2}$ che per giunta è bidimensionale! spero che qualcuno possa indicarmi l'errore
calcolare una base per il sottospazio $U={p(x)inRR[x]_3 : xp''-p'=0}$
come al solito ho svolto l'esercizio cercando un polinomio generico di $U$ partendo da un polinomio generico di $RR[x]_3$
quindi calcolando $x(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3)''-(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3)'=0$ ,derivando si ottiene
$2a_2x+6a_3x^2-a_1-2a_2x-3a_3x^2=0$ e quindi l'identità $a_1=3a_3x^2$
quindi il polinomio generico di $U$ sarebbe $a_0+3a_3x^2+a_2x^2+a_3x^3$
raccogliendo rispetto ai coefficienti diventa
$a_0+a_2x^2+a_3(3x^2+x^3)$ e $Span(1,x^2,3x^2+x^3)$ è un insieme di vettori linearmente indipendenti quindi dovrebbe essere una base,ma la soluzione dell'esercizio da la base ${1,x^2}$ che per giunta è bidimensionale! spero che qualcuno possa indicarmi l'errore
Risposte
"cappellaiomatto":
avrei un dubbio s questo esercizio:
calcolare una base per il sottospazio $U={p(x)inRR[x]_3 : xp''-p'=0}$
come al solito ho svolto l'esercizio cercando un polinomio generico di $U$ partendo da un polinomio generico di $RR[x]_3$
quindi calcolando $x(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3)''-(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3)'=0$ ,derivando si ottiene
$2a_2x+6a_3x^2-a_1-2a_2x-3a_3x^2=0$ e quindi l'identità $a_1=3a_3x^2$
quindi il polinomio generico di $U$ sarebbe $a_0+3a_3x^2+a_2x^2+a_3x^3$
raccogliendo rispetto ai coefficienti diventa
$a_0+a_2x^2+a_3(3x^2+x^3)$ e $Span(1,x^2,3x^2+x^3)$ è un insieme di vettori linearmente indipendenti quindi dovrebbe essere una base,ma la soluzione dell'esercizio da la base ${1,x^2}$ che per giunta è bidimensionale! spero che qualcuno possa indicarmi l'errore
$a_1=3a_3x^2$ $rArr$ $3a_3x^2-a_1=0$ $rArr$ $3a_3=0, a_1=0$ ovvero $a_3=0, a_1=0$ e quindi i polinomi che soddisfano alla condizione posta sono del tipo $p(x)=a_2x^2+a_0$
"weblan":
$3a_3x^2-a_1=0$ $rArr$ $3a_3=0, a_1=0$ ovvero $a_3=0, a_1=0$
il problema è che proprio questo non capisco,sarò ritardato...potresti farmi capire meglio quest'ultimo passaggio?
"cappellaiomatto":
[quote="weblan"] $3a_3x^2-a_1=0$ $rArr$ $3a_3=0, a_1=0$ ovvero $a_3=0, a_1=0$
il problema è che proprio questo non capisco,sarò ritardato...[/quote]
Quando si arriva alla condizione $3a_3x^2-a_1=0$, bisogna interpretarla bene $3a_3x^2+0x-a_1=0x^2+0x+0$.
Noi vogliamo tutti i polinomi per i quali vale la relazione precedente, lo $0$ indica il polinomio nullo. Principio di identità dei polinomi.
Infatti i polinomi che soddisfano alla tua condizione sono del tipo: $p(x)=a_2x^2+a_0$.
grazie per avermi illuminato!
se non ti è di peso vorrei postare un paio di esercizi come verifica:
Ex.1 Determinare una base del sottospazio $V={p(x)inRR_3[x] : p(2-x)=p(x)}$
preso il polinomio generico di $RR_3[x]$ mi occupo dell'uguaglianza $a_0+a_1(2-x)+a_2(2-x)^2+a_3(2-x)^3=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$
svolgendo i calcoli si ha $a_0+2a_1-a_1x+a_2x^2+4a_2-4a_2x-a_3x^3+6a_3x^2-12a_3x+8a_3=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$
raccogliendo i coefficienti si ha $(2a_1+4a_2+8a_3)+x(-2a_1-4a_2-12a_3)+6a_3x^2-2a_3x^3=0$ dove $0$ è il polinomio nullo,quindi devo risolvere il sistema
$ { ( 2a_1+4a_2+8a_3=0 ),( -2a_1-4a_2-12a_3=0 ),( 6a_3=0 ),( -2a_3=0 ):} $
che ha soluzione $a_3=0$ e $a_1=-2a_2$
pertanto il polinomio $p(x)inV$ ha la forma $a_0-2a_2x+a_2x^2$, dove rispetto ai coefficienti $a_i$ si ha
$a_0+a_2(x^2-2x)$ pertanto una base del sottospazio è ${1,x^2-2x}$.
Ex.2 determinare una base per il sottospazio $U={p(x)in RR_3[x] : p(0)=p(1)=0}$
una tale condizione è soddisfatta se per ogni $p(x)inRR_3[x]$ si ha $a_0=a_0+a_1+a_2+a_3=0$.
tale sistema ha soluzioni $ { ( a_0=0 ),( a_1=-a_2-a_3 ):} $
quindi il polinomio $p(x)inU$ ha la forma $(-a_2-a_3)x+a_2x^2+a_3x^3$ dove rispetto ai coefficienti $a_i$ si ha
$a_2(x^2-x)+a_3(x^3-x)$ e quindi una base di $U$ è ${x^2-x,x^3-x}$.
pensi che possa andare?
se non ti è di peso vorrei postare un paio di esercizi come verifica:
Ex.1 Determinare una base del sottospazio $V={p(x)inRR_3[x] : p(2-x)=p(x)}$
preso il polinomio generico di $RR_3[x]$ mi occupo dell'uguaglianza $a_0+a_1(2-x)+a_2(2-x)^2+a_3(2-x)^3=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$
svolgendo i calcoli si ha $a_0+2a_1-a_1x+a_2x^2+4a_2-4a_2x-a_3x^3+6a_3x^2-12a_3x+8a_3=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$
raccogliendo i coefficienti si ha $(2a_1+4a_2+8a_3)+x(-2a_1-4a_2-12a_3)+6a_3x^2-2a_3x^3=0$ dove $0$ è il polinomio nullo,quindi devo risolvere il sistema
$ { ( 2a_1+4a_2+8a_3=0 ),( -2a_1-4a_2-12a_3=0 ),( 6a_3=0 ),( -2a_3=0 ):} $
che ha soluzione $a_3=0$ e $a_1=-2a_2$
pertanto il polinomio $p(x)inV$ ha la forma $a_0-2a_2x+a_2x^2$, dove rispetto ai coefficienti $a_i$ si ha
$a_0+a_2(x^2-2x)$ pertanto una base del sottospazio è ${1,x^2-2x}$.
Ex.2 determinare una base per il sottospazio $U={p(x)in RR_3[x] : p(0)=p(1)=0}$
una tale condizione è soddisfatta se per ogni $p(x)inRR_3[x]$ si ha $a_0=a_0+a_1+a_2+a_3=0$.
tale sistema ha soluzioni $ { ( a_0=0 ),( a_1=-a_2-a_3 ):} $
quindi il polinomio $p(x)inU$ ha la forma $(-a_2-a_3)x+a_2x^2+a_3x^3$ dove rispetto ai coefficienti $a_i$ si ha
$a_2(x^2-x)+a_3(x^3-x)$ e quindi una base di $U$ è ${x^2-x,x^3-x}$.
pensi che possa andare?
Sì, sono giuste. Tra l'altro il secondo esercizio lo avevo proposto come esempio in questa discussione: indicare-una-base-di-t81008.html
grazie a tutti come sempre
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