Sottospazi di matrici e loro intersezione
ciao, potreste darmi una mano con questo esercizio?
Dati i due sottoinsiemi di $ M_2(CC) $
$ U=( ( x , x ),( 0 , 0 ) ) ,x in RR $ e $ W=( ( 0 , y ),( y , y ) ) ,yin RR $
si verifichi a scelta che $ U $ o $ W $ sia sottospazio vettoriale di $ M_2(CC) $
Si calcoli la dimensione di $ U $ e $ W $ e della loro intersezione
ho problemi a risolvere esercizi con matrici e non ho capito come si calcola l'intersezione tra sottospazi
Dati i due sottoinsiemi di $ M_2(CC) $
$ U=( ( x , x ),( 0 , 0 ) ) ,x in RR $ e $ W=( ( 0 , y ),( y , y ) ) ,yin RR $
si verifichi a scelta che $ U $ o $ W $ sia sottospazio vettoriale di $ M_2(CC) $
Si calcoli la dimensione di $ U $ e $ W $ e della loro intersezione
ho problemi a risolvere esercizi con matrici e non ho capito come si calcola l'intersezione tra sottospazi

Risposte
Ciao.
Saresti in grado di risolvere almeno una piccola parte dell'esercizio?
Dove ti bloccheresti (o cosa ti bloccherebbe), esattamente?
Saluti.
Saresti in grado di risolvere almeno una piccola parte dell'esercizio?
Dove ti bloccheresti (o cosa ti bloccherebbe), esattamente?
Saluti.
Per verificare che siano sottospazi ragiono in questo modo:
prendo 2 generici elementi per esempio $ w_1=( ( x_1 , x_1 ),( 0 , 0 ) ), ( ( x_2 , x_2 ),( 0 , 0 ) ) $
e verifico la chiusura rispetto a somma e prodotto e infine l'appartenza dell'elemento nullo.
Siccome è tutto verificato, posso dire che è sottospazio, ma non so cosa dire sulla dimensione. Mi verrebbe da dire che $ U $ e $ W $ hanno dimensione 4 perchè una matrice 2x2 è isomorfa a $ RR^4 $ ma non credo sia giusto, dato che sono sottospazi.
prendo 2 generici elementi per esempio $ w_1=( ( x_1 , x_1 ),( 0 , 0 ) ), ( ( x_2 , x_2 ),( 0 , 0 ) ) $
e verifico la chiusura rispetto a somma e prodotto e infine l'appartenza dell'elemento nullo.
Siccome è tutto verificato, posso dire che è sottospazio, ma non so cosa dire sulla dimensione. Mi verrebbe da dire che $ U $ e $ W $ hanno dimensione 4 perchè una matrice 2x2 è isomorfa a $ RR^4 $ ma non credo sia giusto, dato che sono sottospazi.
a guardare bene,o hai scritto male il testo (è probabile)o $U$ e $W$ non sono sottospazi vettoriali perchè non sono chiusi rispetto all'operazione di prodotto per uno scalare
infatti le matrici dei 2 insiemi hanno fra i loro elementi solo numeri reali,mentre uno scalare può essere un qualsiasi numero complesso
se poi anche gli elementi dei 2 insiemi possono essere complessi,$U$ e $W$ sono ssv di dimensione $1$ e non è difficile dimostrarlo
infatti le matrici dei 2 insiemi hanno fra i loro elementi solo numeri reali,mentre uno scalare può essere un qualsiasi numero complesso
se poi anche gli elementi dei 2 insiemi possono essere complessi,$U$ e $W$ sono ssv di dimensione $1$ e non è difficile dimostrarlo
si colpa mia, $ x,yin CC $
Ciao.
Attenzione: $M_2(CC)$ non è isomorfo a $RR^4$, ma a $CC^4$.
Per quanto riguarda le dimensioni dei due sottospazi $U,W$ dell'esercizio proposto, si ha:
$U={((x,x),(0,0)):x in CC}={x((1,1),(0,0)):x in CC}=mathcalL{((1,1),(0,0))}$
$W={((0,y),(y,y)):y in CC}={y((0,1),(1,1)):y in CC}=mathcalL{((0,1),(1,1))}$
da cui si ricava che $dimU=dimW=1$.
Per quanto riguarda $U nn W$, il discorso è banale, in questo caso.
Saluti.
Attenzione: $M_2(CC)$ non è isomorfo a $RR^4$, ma a $CC^4$.
Per quanto riguarda le dimensioni dei due sottospazi $U,W$ dell'esercizio proposto, si ha:
$U={((x,x),(0,0)):x in CC}={x((1,1),(0,0)):x in CC}=mathcalL{((1,1),(0,0))}$
$W={((0,y),(y,y)):y in CC}={y((0,1),(1,1)):y in CC}=mathcalL{((0,1),(1,1))}$
da cui si ricava che $dimU=dimW=1$.
Per quanto riguarda $U nn W$, il discorso è banale, in questo caso.
Saluti.