Sottospazi di dimensione finita
Ciao,
mi piacerebbe capire meglio cosa c'è dietro la seguente proposizione:
"Sia \(\displaystyle (X,\| \cdot \|_H) \) uno spazio di Hilbert. Ogni sottospazio \(\displaystyle V \) di dimensione finita \(\displaystyle N \) è chiuso, essendo isometrico a \(\displaystyle \mathbb{R}^N \) (o \(\displaystyle \mathbb{C}^N \) )".
Anche su altri libri, non sono mai riuscito a trovare una spiegazione più esauriente. Per questo provo a scrivere quello che penso di aver capito (di cui vi chiedo conferma!):
Considero \(\displaystyle (V, \| \cdot \|_H) \) : esso è ancora uno spazio vettoriale normato, ed è isomorfo a \(\displaystyle \mathbb{R}^N \), ovvero esiste una applicazione lineare biunivoca tra \(\displaystyle V \) e \(\displaystyle \mathbb{R}^N \), che è continua in entrambe le direzioni, ed è possibile associare a una base di \(\displaystyle V \) la base canonica di \(\displaystyle \mathbb{R}^N \) che indico con \(\displaystyle \{e_n\} \).
Il passo fondamentale credo sia questo: siccome \(\displaystyle (\mathbb{R}^N, \| \cdot \|) \) è uno spazio completo, allora, per mezzo dell'imosorfismo, anche \(\displaystyle (V, \| \cdot \|_H) \) è uno spazio completo.
Di conseguenza, essendo \(\displaystyle V \) un sottospazio completo di uno spazio completo \(\displaystyle H \), \(\displaystyle V \) è chiuso.
Può andar bene? Oppure c'è una spiegazione più immediata?
Grazie
mi piacerebbe capire meglio cosa c'è dietro la seguente proposizione:
"Sia \(\displaystyle (X,\| \cdot \|_H) \) uno spazio di Hilbert. Ogni sottospazio \(\displaystyle V \) di dimensione finita \(\displaystyle N \) è chiuso, essendo isometrico a \(\displaystyle \mathbb{R}^N \) (o \(\displaystyle \mathbb{C}^N \) )".
Anche su altri libri, non sono mai riuscito a trovare una spiegazione più esauriente. Per questo provo a scrivere quello che penso di aver capito (di cui vi chiedo conferma!):
Considero \(\displaystyle (V, \| \cdot \|_H) \) : esso è ancora uno spazio vettoriale normato, ed è isomorfo a \(\displaystyle \mathbb{R}^N \), ovvero esiste una applicazione lineare biunivoca tra \(\displaystyle V \) e \(\displaystyle \mathbb{R}^N \), che è continua in entrambe le direzioni, ed è possibile associare a una base di \(\displaystyle V \) la base canonica di \(\displaystyle \mathbb{R}^N \) che indico con \(\displaystyle \{e_n\} \).
Il passo fondamentale credo sia questo: siccome \(\displaystyle (\mathbb{R}^N, \| \cdot \|) \) è uno spazio completo, allora, per mezzo dell'imosorfismo, anche \(\displaystyle (V, \| \cdot \|_H) \) è uno spazio completo.
Di conseguenza, essendo \(\displaystyle V \) un sottospazio completo di uno spazio completo \(\displaystyle H \), \(\displaystyle V \) è chiuso.
Può andar bene? Oppure c'è una spiegazione più immediata?
Grazie
Risposte
Tutto giusto.
Bisogna forse dire due parole sulla continuita'. In effetti il tuo isomorfismo puo' sempre essere scelto in modo da rispettare il prodotto interno. Nel senso che, se hai $f : V \to \mathbb{R}^N$, allora $\langle v,w \rangle_H = \langle f(v),f(w) \rangle_{\mathbb{R}^N}$.
Ma questo si puo' sempre fare, perche' puoi ortonormalizzare una base qualsiasi di $V$ e mandare la base ortonormalizzata nella base canonica di $\mathbb{R}^N$. Quindi in particolare l'isomorfismo e' una isometria biiettiva che e' continua e ha inversa continua.
La parte sulla chiusura e sulla completezza funziona esattamente come hai spiegato tu.
Bisogna forse dire due parole sulla continuita'. In effetti il tuo isomorfismo puo' sempre essere scelto in modo da rispettare il prodotto interno. Nel senso che, se hai $f : V \to \mathbb{R}^N$, allora $\langle v,w \rangle_H = \langle f(v),f(w) \rangle_{\mathbb{R}^N}$.
Ma questo si puo' sempre fare, perche' puoi ortonormalizzare una base qualsiasi di $V$ e mandare la base ortonormalizzata nella base canonica di $\mathbb{R}^N$. Quindi in particolare l'isomorfismo e' una isometria biiettiva che e' continua e ha inversa continua.
La parte sulla chiusura e sulla completezza funziona esattamente come hai spiegato tu.
Grazie!
Così mi è più chiaro anche il fatto dell'isometria!
Ciao
Così mi è più chiaro anche il fatto dell'isometria!
Ciao
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