Sottospazi connessi
Buongiorno a tutti!
Da giorni sto cercando di risolvere i miei problemi sugli esercizi riguardanti i sottospazi connessi in $R^n$, ma non riesco proprio a trovare un punto di partenza! Per quanto riguarda gli esercizi in $RR$, credo di non avere problemi, ma quando mi trovo ad affrontare quelli in $R^2$ o in $R^3$ non riesco a risolverli!
Vi scrivo il ragionamento che faccio nel primo caso:
1) ($RR$,N) N=topologia naturale
$QQ$$sub$$RR$ non è connesso
sia p$in$$RR$ e p$notin$$QQ$
le due semirette aperte ]-$\infty$,p[ e ]p,+$\infty$[ sono due aperti della topologia tali che:
]-$\infty$,p[ $nn$ ]p,+$\infty$[ = $\phi$
( ]-$\infty$,p[ $uu$ ]p,+$\infty$[) $nn$$QQ$=$QQ$
quindi $QQ$ è sconnesso
2) ($RR^2$,N)
X = {(x,y): $x^2$ - $y^2$$>=$ 4} è connesso in $RR^2$ ?
non capisco da dove partire per vedere se esistono due aperti della topologia indotta non vuoti e disgiunti la cui unione è uguale ad X!
io ho notato che i punti di X sono i punti dell'iperbole equilatera di equazione $x^2$-$y^2$= 4 e i punti "all'interno" di tale iperbole! ma non so proprio come svolgere l'esercizio
3) ($RR^3$,N)
X = {(x,y,z): $(x - 1)^2$ + $y^2$ + $(z - 2)^2$ $<$ 16} è connesso?
in questo caso ho notato che X è un disco aperto, non è compatto perchè non è chiuso (in $RR^n$ un sottoinsieme è compatto $hArr$ è chiuso e limitato), ma non so come fare a capire se è connesso... (o se è connesso per poligonali)
qualcuno sa darmi qualche suggerimento per l'esercizio 2) e 3)?
Grazie in anticipo e buona domenica!
Da giorni sto cercando di risolvere i miei problemi sugli esercizi riguardanti i sottospazi connessi in $R^n$, ma non riesco proprio a trovare un punto di partenza! Per quanto riguarda gli esercizi in $RR$, credo di non avere problemi, ma quando mi trovo ad affrontare quelli in $R^2$ o in $R^3$ non riesco a risolverli!
Vi scrivo il ragionamento che faccio nel primo caso:
1) ($RR$,N) N=topologia naturale
$QQ$$sub$$RR$ non è connesso
sia p$in$$RR$ e p$notin$$QQ$
le due semirette aperte ]-$\infty$,p[ e ]p,+$\infty$[ sono due aperti della topologia tali che:
]-$\infty$,p[ $nn$ ]p,+$\infty$[ = $\phi$
( ]-$\infty$,p[ $uu$ ]p,+$\infty$[) $nn$$QQ$=$QQ$
quindi $QQ$ è sconnesso
2) ($RR^2$,N)
X = {(x,y): $x^2$ - $y^2$$>=$ 4} è connesso in $RR^2$ ?
non capisco da dove partire per vedere se esistono due aperti della topologia indotta non vuoti e disgiunti la cui unione è uguale ad X!
io ho notato che i punti di X sono i punti dell'iperbole equilatera di equazione $x^2$-$y^2$= 4 e i punti "all'interno" di tale iperbole! ma non so proprio come svolgere l'esercizio
3) ($RR^3$,N)
X = {(x,y,z): $(x - 1)^2$ + $y^2$ + $(z - 2)^2$ $<$ 16} è connesso?
in questo caso ho notato che X è un disco aperto, non è compatto perchè non è chiuso (in $RR^n$ un sottoinsieme è compatto $hArr$ è chiuso e limitato), ma non so come fare a capire se è connesso... (o se è connesso per poligonali)
qualcuno sa darmi qualche suggerimento per l'esercizio 2) e 3)?
Grazie in anticipo e buona domenica!
Risposte
"kiki":
i punti di X sono i punti della circonferenza di equazione $x^2-y^2= 4$ di centro l'origine e raggio 2
Quella che hai scritto non è una circonferenza ma un'iperbole equilatera.
"perplesso":
[quote="kiki"] i punti di X sono i punti della circonferenza di equazione $x^2-y^2= 4$ di centro l'origine e raggio 2
Quella che hai scritto non è una circonferenza ma un'iperbole equilatera.[/quote]
grazie! hai ragione!! c'è la differenza, non la somma!!! che erroraccio! ora ci rifletto un po'...vorrei capire se questo erroraccio mi permette di capire l'esercizio!
il sottospazio in questione è contenuto in nel piano reale sottratto dell'asse y, questo spazio non è connesso perchè separabile nella regione ad ascisse positive e regione ad ascisse negative. Se il sottospazio fosse connesso dovrebbe giacere in una delle due separazioni, cosa palesemente falsa. Allora il sottospazio non è connesso
[img]http://www2.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP24701a26bg27ieh4i4d700002gf227e84e12f9ce?MSPStoreType=image/gif&s=10&w=200&h=203&cdf=Coordinates&cdf=Tooltips[/img]
nel secondo esercizio basta osservare che R3 è connesso per archi e qualunque sua palla è un sottospazio convesso, dunque ancora connesso per archi.
[img]http://www2.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP24701a26bg27ieh4i4d700002gf227e84e12f9ce?MSPStoreType=image/gif&s=10&w=200&h=203&cdf=Coordinates&cdf=Tooltips[/img]
nel secondo esercizio basta osservare che R3 è connesso per archi e qualunque sua palla è un sottospazio convesso, dunque ancora connesso per archi.
"DeppeP":
il sottospazio in questione è contenuto in nel piano reale sottratto dell'asse y, questo spazio non è connesso perchè separabile nella regione ad ascisse positive e regione ad ascisse negative. Se il sottospazio fosse connesso dovrebbe giacere in una delle due separazioni, cosa palesemente falsa. Allora il sottospazio non è connesso
[img]http://www2.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP24701a26bg27ieh4i4d700002gf227e84e12f9ce?MSPStoreType=image/gif&s=10&w=200&h=203&cdf=Coordinates&cdf=Tooltips[/img]
nel secondo esercizio basta osservare che R3 è connesso per archi e qualunque sua palla è un sottospazio convesso, dunque ancora connesso per archi.
grazie per la risposta!
per quanto riguarda l'esecizio 2) mi hai dato delle informazioni preziose, che non conoscevo! adesso credo di aver capito come fare a riconoscere graficamente se un sottoinsieme di $RR^2$ è connesso o sconnesso, però non saprei ancora come poterlo dimostrare nella prova d'esame!Per quanto riguarda il punto 3) purtroppo nel libro e negli opuscoli forniti dal professore, non si parla nè di connessione per archi, nè di sottoinsieme convesso, ma solo di connessi e connessi per poligonali... perciò credo di non poterlo risolvere utilizzando queste nozioni
ehi kiki! nel caso dell'esercizio due ho usato un lemma molto facile che afferma:
"Sia X uno spazio separabile in A e B, se Y sottoinsieme di X è connesso allora Y è contenuto in A o è contenuto in B" : - )
se vuoi ti accenno una dimostrazione (roba di due righe!).
Per quanto riguarda l'esercizio 3, provo a spiegarti un pò più dettagliatamente:
Uno spazio convesso non è nulla di straordinario, è uno spazio in cui ogni sua coppia di punti può essere unita da un segmento che giaccia tutto nell'insieme stesso. E' elementare che questo avvenga in una palla vero?
(per dimostrarlo:
costruisci il cammino che segua il segmento tra x0 e x1 nella palla, [tex]f(t \in [ 0,1 ] ) = x_{1} * t + (1 - t ) * x_{0}[/tex]. adesso è facilissimo dimostrare che il segmento è sempre contenuto nel sottospazio! basta infatti osservare che non esiste un [tex]t \in [0,1][/tex] per cui la distanza di f(t) dal centro sia maggiore del raggio della palla)
Ed è anche elementare che un insieme convesso sia connesso per poligonali (abbiamo appena costruito un segmento), ma connessione per poligonali => connessione, da cui la tesi.
"Sia X uno spazio separabile in A e B, se Y sottoinsieme di X è connesso allora Y è contenuto in A o è contenuto in B" : - )
se vuoi ti accenno una dimostrazione (roba di due righe!).
Per quanto riguarda l'esercizio 3, provo a spiegarti un pò più dettagliatamente:
Uno spazio convesso non è nulla di straordinario, è uno spazio in cui ogni sua coppia di punti può essere unita da un segmento che giaccia tutto nell'insieme stesso. E' elementare che questo avvenga in una palla vero?
(per dimostrarlo:
costruisci il cammino che segua il segmento tra x0 e x1 nella palla, [tex]f(t \in [ 0,1 ] ) = x_{1} * t + (1 - t ) * x_{0}[/tex]. adesso è facilissimo dimostrare che il segmento è sempre contenuto nel sottospazio! basta infatti osservare che non esiste un [tex]t \in [0,1][/tex] per cui la distanza di f(t) dal centro sia maggiore del raggio della palla)
Ed è anche elementare che un insieme convesso sia connesso per poligonali (abbiamo appena costruito un segmento), ma connessione per poligonali => connessione, da cui la tesi.
"DeppeP":
ehi kiki! nel caso dell'esercizio due ho usato un lemma molto facile che afferma:
"Sia X uno spazio separabile in A e B, se Y sottoinsieme di X è connesso allora Y è contenuto in A o è contenuto in B" : - )
se vuoi ti accenno una dimostrazione (roba di due righe!).
Per quanto riguarda l'esercizio 3, provo a spiegarti un pò più dettagliatamente:
Uno spazio convesso non è nulla di straordinario, è uno spazio in cui ogni sua coppia di punti può essere unita da un segmento che giaccia tutto nell'insieme stesso. E' elementare che questo avvenga in una palla vero?
(per dimostrarlo:
costruisci il cammino che segua il segmento tra x0 e x1 nella palla, [tex]f(t \in [ 0,1 ] ) = x_{1} * t + (1 - t ) * x_{0}[/tex]. adesso è facilissimo dimostrare che il segmento è sempre contenuto nel sottospazio! basta infatti osservare che non esiste un [tex]t \in [0,1][/tex] per cui la distanza di f(t) dal centro sia maggiore del raggio della palla)
Ed è anche elementare che un insieme convesso sia connesso per poligonali, ma connessione per poligonali => connessione, da cui la tesi.
Ti ringrazio davvero per la pazienza, ma purtroppo nel mio caso ce ne vuole proprio tanta! sei stato molto chiaro nella definizione di spazio convesso! è stato facile davvero capire di cosa si tratta! grazie!
inoltre mi hai illuminato per quanto riguarda il secondo esercizio! credo di aver capito!!
Allora l'asse delle y, essendo una retta, sconnette $RR^2$, quindi è separabile in due insiemi aperti A, il semipiano delle ascisse positive, e B, il semipiano delle ascisse negative (che sono due aperti della topologia naturale, così come in ($RR$,N) le semirette aperte sono aperti), quindi X, contenuto in $RR^2$ privato dell'asse y, se fosse connesso, dovrebbe necessariamente essere contenuto in A o B, ma X non verifica questa proprietà, quindi non è connesso!per quanto riguarda il terzo esercizio, invece,il professore purtroppo non ci ha parlato nemmeno dei cammini... grazie ancora!!
ci sei ma fai attenzione ad una cosa: |R2 E' connesso, |R2 sottratto delle ordinate non lo è e quindi è separabile!
Intuitivamente uno spazio non è connesso se presenta delle sue componenti che siano 'distanti'. Per esempio nel caso di |R2 senza ordinate, le componenti sono i semipiani. Nel caso del tuo sottospazio i due 'lobi'
ciao!!
Intuitivamente uno spazio non è connesso se presenta delle sue componenti che siano 'distanti'. Per esempio nel caso di |R2 senza ordinate, le componenti sono i semipiani. Nel caso del tuo sottospazio i due 'lobi'
ciao!!
"DeppeP":
ci sei ma fai attenzione ad una cosa: |R2 E' connesso, |R2 sottratto delle ordinate non lo è e quindi è separabile!
Intuitivamente uno spazio non è connesso se presenta delle sue componenti che siano 'distanti'. Per esempio nel caso di |R2 senza ordinate, le componenti sono i semipiani. Nel caso del tuo sottospazio i due 'lobi'
ciao!!
grazie mille!!!! ho capito
il secondo esercizio è ok!! grazie ancora!!! userò l'intuito, grazie al tuo suggerimento, per capire subito se un sottospazio è connesso! buona giornata Deppep
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo