Sottospazi complementari e supplementari

[totinaples]

Ragazzi ieri studiavo i vari teoremi su spazi e sottospazi, Grassman, e mi sono imbattuto quindi nella definizione di somma diretta e di sottospazi supplementari e complementari.
Il mio libro come wikipedia dicono che due sottospazi sono in somma diretta se $UnnW=\vec 0$ e dunque $U+W=V$ i due sottospazi allora si definiscono complementari.
Poi mi dice che due sottospazi sono in somma diretta se $U+W=V$ e $UnnW=\vec 0$ i due sottospazi si definiscono allora supplementari...
Praticamente mi dice che è la stessa cosa ma io so che non è così.....qualcuno mi spiega gentilmente la differenza???
Non so più su che fonti cercare!!!
Grazieeee

[dissonance]

"totinaples":Il mio libro come wikipedia dicono che due sottospazi sono in somma diretta se $UnnW=\vec 0$ e dunque $U+W=V$ i due sottospazi allora si definiscono complementari.

La parte in rosso è sbagliata. Anche se $UnnW={0}$ niente ti garantisce che $U+W=V$. Esempio: $V=RR^3$, $U$ l'asse delle $x$, $W$ l'asse delle $y$. $UnnW={0}$ (l'origine dello spazio) ma $U+W$ è uguale solo al piano $xy$, manca un bel po' per riempire tutto lo spazio. Quindi $U, W$ sono complementari ma non supplementari. (Attenzione che non è una terminologia universale).

[totinaples]

si ok il "dunque" è sbagliato, colpa mia, ma eliminandolo vale comunque quella condizione? Cioè tu mi stai dicendo che quando sono complementari la loro somma non da lo spazio vettoriale ma se sono supplementari si?

[dissonance]

"totinaples":quando sono complementari la loro somma non da lo spazio vettoriale ma se sono supplementari si?

Questa è la definizione. In altri termini: dati due sottospazi $U, W$ di $V$ tali che $UnnW={0}$, per definizione diremo che $U, W$ sono:
supplementari se $U+W=V$;
complementari in caso contrario.

[totinaples]

Grazie mille....i libri nn sono molto chiari a riguardo!!!