Sottospazi, basi e complementi
Dati i vettori $u1=(1,0,0,1)$, $u2=(2,1,1,0)$, $u3=(0,2,0,-2)$ e il sottospazio V di R4 da essi generato, come determino una base del complemento ortogonale Vo di V? E una base ortonormale?
Risposte
Beh, il complemento ortogonale ha dimensione 1, quindi una qualunque base ha un solo vettore. Così per forza qualunque base è ortonormale...
Potresti trovare una base (cioè quell'unico vettore) con il procedimento di Gram-Schmidt. Forse però ci possono essere strade più rapide, al momento non mi vengono in mente...
Potresti trovare una base (cioè quell'unico vettore) con il procedimento di Gram-Schmidt. Forse però ci possono essere strade più rapide, al momento non mi vengono in mente...
Temo che il mio problema, prima di tutto, sia capire cosa sia un dannato complemento ortogonale.
Sia $v_0$ il generico vettore appartenente a $V_0$ ; sarà del tipo $v_0 = ( alpha,beta, gamma, delta ) $ .
Ma questo vettore deve essere perpendicolare sia a $u_1$ che a $u_2 $ che a $u_3 $ ; pertanto i relativi prodotti scalari saranno nulli e quindi svolgendo i conti :
$alpha+delta=0 $
$2alpha+beta+delta=0$
$2beta-2delta = 0 $
da cui esprimendo le incognite in funzione di $alpha $ si ha
$beta = -alpha$ ; $gamma = - alpha $ ; $delta = -alpha $ .
Quindi il generico vettore $v_0 = ( alpha, -alpha,-alpha, -alpha) $ .
Chiaramente Dim $V_0 = 1 $
Una base $ b = ( 1,-1,-1,-1) $.
Se poi vuoi avere una base che sia anche un versore , cioè un vettore di modulo unitario , allora basta dividere il vettore $b $ per il suo modulo che vale $sqrt(1+1+1+1)= 2 $ ed ecco la base $b'$ che è anche versore , $ b' = (1/2,-1/2,-1/2,-1/2 ) $ .
Definizione Sia V uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare . L' ORTOGONALE di un sottoinsieme $S sube V$ è l'insieme S* di tutti gli elementi di V ortogonali a S :
S* $=( v in V : =0 ,AA w in S ) $
Ma questo vettore deve essere perpendicolare sia a $u_1$ che a $u_2 $ che a $u_3 $ ; pertanto i relativi prodotti scalari saranno nulli e quindi svolgendo i conti :
$alpha+delta=0 $
$2alpha+beta+delta=0$
$2beta-2delta = 0 $
da cui esprimendo le incognite in funzione di $alpha $ si ha
$beta = -alpha$ ; $gamma = - alpha $ ; $delta = -alpha $ .
Quindi il generico vettore $v_0 = ( alpha, -alpha,-alpha, -alpha) $ .
Chiaramente Dim $V_0 = 1 $
Una base $ b = ( 1,-1,-1,-1) $.
Se poi vuoi avere una base che sia anche un versore , cioè un vettore di modulo unitario , allora basta dividere il vettore $b $ per il suo modulo che vale $sqrt(1+1+1+1)= 2 $ ed ecco la base $b'$ che è anche versore , $ b' = (1/2,-1/2,-1/2,-1/2 ) $ .
Definizione Sia V uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare . L' ORTOGONALE di un sottoinsieme $S sube V$ è l'insieme S* di tutti gli elementi di V ortogonali a S :
S* $=( v in V :
Effettivamente così si fa subito... il mio suggerimento era una cavolata..
Il complemento ortogonale di un sottospazio $V$ di $RR^n$ è l'insieme $V_0$ dei vettori ortogonali al sottospazio; si dimostra che:
- un complemento ortogonale è un sottospazio vettoriale
- la somma di un sottospazio e del suo complemento ortogonale è diretta (cioè $V+ V_0=RR^n$ e $V nn V_0={0}$), così $dim(V)+dim(V_0)=n$.
Il complemento ortogonale di un sottospazio $V$ di $RR^n$ è l'insieme $V_0$ dei vettori ortogonali al sottospazio; si dimostra che:
- un complemento ortogonale è un sottospazio vettoriale
- la somma di un sottospazio e del suo complemento ortogonale è diretta (cioè $V+ V_0=RR^n$ e $V nn V_0={0}$), così $dim(V)+dim(V_0)=n$.
E per trovare una base ortonormale di $RR^4$, basta che unisco le basi ortonormalizzate del complemento ortogonale di $V$ e di $V$ (dato che $V$ ha dimensione 3)?
Sì.
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