Sottospazi affini paralleli

[trambit]

Ciao a tutti,
avrei bisogno di un aiutino..

Sto studiando gli spazi affini e la dimostrazione formale (perchè ad intuito ci sono )di questa proposizione mi lascia un po' perplessa:

"Siano S, T due sottospazi affini paralleli dello spazio affine A, tali che dim(S)< dim(T), se S e T hanno almeno un punto in comune, allora S è contenuto in T."

dim:
Sia Q appartenente all'intersezione tra T e S. Per ogni P appartenente ad S si ha OP appartenente a W (sottospazio vettoriale associato al sottospazio affine S) che a sua volta è contenuto in U (sottospazio vettoriale associato allo spazio affine T), quindi P appartiene a T, pertanto S è contenuto in T.

Quello che non riesco a capire è:
"Per ogni P appartenente ad S si ha OP appartenente a W":
W è un sottospazio, quindi è costituito da elementi w. OP invece non appartiene al sottospazio affine a W? E' vero che W è la giacitura di S e che tra sottospazio affine e giacitura c'è una corrispondenza biunivoca, ma W è costuito da vettori liberi e non da vettori applicati... posso lo stesso dire che un elemento del sottospazio affine appartiene al sottospazio vettoriale ad esso associato? Non vorrei aver fatto un minestrone... mi dareste una mano a capirci un po' di più? grazie!