Sottospazi Affini
Ho i seguenti sottospazi affini di $R^4$ : L: $\{(x-2y-3z+2w=0), (x+y+z-1=0), (x+y-3w-1=0):}$ M: $\{(y+z+w-1=0), (x+z-3w-1=0), (x-y+w-3=0):}$ .
L’esercizio mi chiede di determinare il più piccolo sottospazio affine che contiene L e M.
La mia idea è stata di considerare L e M come due rette e calcolare l’equazione del piano che le contiene entrambe. È sbagliato? Se si, come potrei farlo?
Grazie per l’aiuto.
L’esercizio mi chiede di determinare il più piccolo sottospazio affine che contiene L e M.
La mia idea è stata di considerare L e M come due rette e calcolare l’equazione del piano che le contiene entrambe. È sbagliato? Se si, come potrei farlo?
Grazie per l’aiuto.
Risposte
Ricopiato sotto...
Potrei passare dalle equazioni cartesiane a quelle parametriche e vedere da li i vettori direzione delle due rette e, questo punto, calcolare il punto d' intersezione tra le due rette e trovare con questo l' equazione parametrica del piano?
"ffeeddee95":
Potrei passare dalle equazioni cartesiane a quelle parametriche e vedere da li i vettori direzione delle due rette e, questo punto, calcolare il punto d' intersezione tra le due rette e trovare con questo l' equazione parametrica del piano?
Ti ho messo una traccia da seguire per la soluzione. Vedi se e' chiara e prova a fare i calcoli.
PS. Quando parli di rette e piani devi sempre pensare che sei in $\RR^4$. Quindi bisogna usare cautela.
Vediamolo insieme.
Se non fossero spazi affini, ma spazi vettoriali semplici, ossia tutte le equazioni sono omogenee, in questo caso come si fa ?
Siccome siamo in $\RR^4$ e non possiamo usare il prodotto vettoriale, dobbiamo usare un metodo che sia generico, che valga in qualunque numero di dimensioni.
In una frase: dobbiamo trovare lo spazio nullo della somma degli spazi nulli.
Spazio nullo e' sinonimo di spazio ortogonale, o kernel.
Mettiamo i due sistemi in forma di matrici:
$\bb L ((x),(y),(z),(w)) = \bb L \bb {r_1} = \bb l$
$\bb M \bb {r_2} = \bb m$
dove $\bb M$ e $\bb L$ sono matrici 4x4 e, $\bb l$ e $\bb m$ sono vettori colonna 4x1.
Adesso prendiamo i sistemi omogenei e troviamo gli spazi nulli.
$\bb L \bb {s_1} = \bb 0$
$\bb M \bb {s_2} = \bb 0$
Ora troviamo lo spazio nullo della somma di $\bb {s_1}$ e $\bb {s_2}$
$\bb {((\bb {s_1}^T),(\bb {s_2}^T))} \bb B = \bb 0$
Adesso dobbiamo trovare il punto in comune ai due spazi di partenza, e quindi mettiamo insieme i due sistemi in un unico sistema.
In questo modo, troviamo una soluzione che i soddisfa entrambi.
$((\bb L),(\bb M)) \bb k = ((\bb l),(\bb m))$
E abbiamo la soluzione:
$\bb B^T ((x),(y),(z),(w)) - \bb k = \bb 0$
Se non fossero spazi affini, ma spazi vettoriali semplici, ossia tutte le equazioni sono omogenee, in questo caso come si fa ?
Siccome siamo in $\RR^4$ e non possiamo usare il prodotto vettoriale, dobbiamo usare un metodo che sia generico, che valga in qualunque numero di dimensioni.
In una frase: dobbiamo trovare lo spazio nullo della somma degli spazi nulli.
Spazio nullo e' sinonimo di spazio ortogonale, o kernel.
Mettiamo i due sistemi in forma di matrici:
$\bb L ((x),(y),(z),(w)) = \bb L \bb {r_1} = \bb l$
$\bb M \bb {r_2} = \bb m$
dove $\bb M$ e $\bb L$ sono matrici 4x4 e, $\bb l$ e $\bb m$ sono vettori colonna 4x1.
Adesso prendiamo i sistemi omogenei e troviamo gli spazi nulli.
$\bb L \bb {s_1} = \bb 0$
$\bb M \bb {s_2} = \bb 0$
Ora troviamo lo spazio nullo della somma di $\bb {s_1}$ e $\bb {s_2}$
$\bb {((\bb {s_1}^T),(\bb {s_2}^T))} \bb B = \bb 0$
Adesso dobbiamo trovare il punto in comune ai due spazi di partenza, e quindi mettiamo insieme i due sistemi in un unico sistema.
In questo modo, troviamo una soluzione che i soddisfa entrambi.
$((\bb L),(\bb M)) \bb k = ((\bb l),(\bb m))$
E abbiamo la soluzione:
$\bb B^T ((x),(y),(z),(w)) - \bb k = \bb 0$
Perdona la domanda se è stupida, ma non ho mai visto questo metodo. Cos è T?
"ffeeddee95":
Perdona la domanda se è stupida, ma non ho mai visto questo metodo. Cos è T?
La trasposta (di un vettore, di una matrice).
https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_trasposta
Sto provando a svolgere l' esercizio ma non capisco perché L e M sono matrici 4x4. Non dovrebbero essere le matrici dei coefficienti? Stessa cosa per l e m che pensavo fossero le matrici dei termini noti.
Grazie
Grazie
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