Sottoricoprimento finito di insieme chiuso?
Ciao, amici! Sto studiando la generalizzazione del concetto di compattezza sequenziale di un sottoinsieme chiuso e limitato di $RR^n$ a quello più generale di compattezza di uni spazio metrico $(X,d)$ di cui ogni ricoprimento ammetta un sottoricoprimento finito. Definito un ricoprimento aperto di $X$ come una famiglia di sottoinsiemi aperti $A_i \sub X$ tali che $X=uu_i A_i$, il mio libro definisce un sottoricoprimento finito come unione di un numero finito $N$ di insiemi della famiglia che ancora sia tale che $X=A_{i,1} uu... uu A_{i,N}$.
Ora, se un sottoinsieme di $RR^n$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato, significa quindi che ammette un sottoricoprimento finito che è unione di insiemi aperti?
Grazie di cuore a tutti!
Ora, se un sottoinsieme di $RR^n$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato, significa quindi che ammette un sottoricoprimento finito che è unione di insiemi aperti?
Grazie di cuore a tutti!
Risposte
Provo a risponderti sperando di non dire qualche inesattezza... Prima di tutto ti serve questo facile risultato sulla compattezza dei sottospazi.
Sia $X$ uno spazio topologico e $Y$ un suo sottospazio. Allora $Y$ è compatto se e solo se ogni ricoprimento di $Y$ mediante aperti di $X$ contiene un sottoricoprimento finito
Ti ho sottolineato quella frase per evidenziare che si richiede che $Y$ sia incluso nell'unione degli aperti del ricoprimento, ma non per forza uguale all'unione dei medesimi aperti. Se vuoi invece un ricoprimento fatto di aperti di $Y$ (che non sono la stessa cosa degli aperti di $X$) basta che prendi gli aperti di $X$ e li intersechi con $Y$. In quel caso si, c'è l'uguagliaza.
Non basta che ammetta un ricoprimento finito, per la compattezza si chiede che ogni ricoprimento aperto ne contenga uno finito. Altrimenti era troppo facile.
Sia $X$ uno spazio topologico e $Y$ un suo sottospazio. Allora $Y$ è compatto se e solo se ogni ricoprimento di $Y$ mediante aperti di $X$ contiene un sottoricoprimento finito
Ti ho sottolineato quella frase per evidenziare che si richiede che $Y$ sia incluso nell'unione degli aperti del ricoprimento, ma non per forza uguale all'unione dei medesimi aperti. Se vuoi invece un ricoprimento fatto di aperti di $Y$ (che non sono la stessa cosa degli aperti di $X$) basta che prendi gli aperti di $X$ e li intersechi con $Y$. In quel caso si, c'è l'uguagliaza.
"DavideGenova":
Ora, se un sottoinsieme di $RR^n$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato, significa quindi che ammette un sottoricoprimento finito che è unione di insiemi aperti?
Non basta che ammetta un ricoprimento finito, per la compattezza si chiede che ogni ricoprimento aperto ne contenga uno finito. Altrimenti era troppo facile.
Grazie, Perplesso!!! Il mio libro nel definire la compattezza, sembra fare allusione ad ricoprimenti di sottoinsiemi $A_i$ di $X$. Cito testualmente:
"[...] dobbiamo definire un ricoprimento aperto dello spazio $X$: si tratta di una famiglia (finita o infinita) di sottoinsiemi [grassetto mio] aperti $A_i$ di $X$, la cui unione sia tutto $X$, cioè $X=uu_i A_i$. Un sottoricoprimento finito è un sottoinsieme finito della famiglia che ancora ricopre $X$: $X=A_{i,1} uu... uu A_{i,N}$.
Definizione. Uno spazio metrico $(X,d)$ si dice compatto se ogni ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento finito."
È giusto? Cioè, un sottoinsieme chiuso e limitato di $RR^n$ (che so essere sequenzialmente compatto, condizione equivalente alla compattezza tout court negli spazi metrici) può essere unione di insiemi aperti?
A me risulta, come d'altronde è intuitivo, che un chiuso non possa essere unione di aperti... Se invece non fosse corretta la definizione del mio libro e invece fosse che $X$ (cioè quello che la tua definizione chiama $Y$) debba essere contenuto (m non necessariamente uguale) nel sottoricoprimento finito, cioè $X sube uu_{k}^{N}A_{i,k}$, allora non vedrei nulla di strano in questa definizione...
Grazie di cuore ancora!
"[...] dobbiamo definire un ricoprimento aperto dello spazio $X$: si tratta di una famiglia (finita o infinita) di sottoinsiemi [grassetto mio] aperti $A_i$ di $X$, la cui unione sia tutto $X$, cioè $X=uu_i A_i$. Un sottoricoprimento finito è un sottoinsieme finito della famiglia che ancora ricopre $X$: $X=A_{i,1} uu... uu A_{i,N}$.
Definizione. Uno spazio metrico $(X,d)$ si dice compatto se ogni ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento finito."
È giusto? Cioè, un sottoinsieme chiuso e limitato di $RR^n$ (che so essere sequenzialmente compatto, condizione equivalente alla compattezza tout court negli spazi metrici) può essere unione di insiemi aperti?
A me risulta, come d'altronde è intuitivo, che un chiuso non possa essere unione di aperti... Se invece non fosse corretta la definizione del mio libro e invece fosse che $X$ (cioè quello che la tua definizione chiama $Y$) debba essere contenuto (m non necessariamente uguale) nel sottoricoprimento finito, cioè $X sube uu_{k}^{N}A_{i,k}$, allora non vedrei nulla di strano in questa definizione...Grazie di cuore ancora!
Da quello che dici mi sembra di capire che non distingui tra gli aperti di uno spazio e quelli di un suo sottospazio. Facciamo un esempio chiarificatore. Considera in $R$ il sottospazio $[0,1]$. Un aperto di $[0,1]$ è semplicemente l'intersezione di un aperto di $R$ con $[0,1]$. Quindi per esempio $[0,1/2)$ è aperto nel sottospazio $[0,1]$ perchè $[0,1/2) = (-1,1/2) \cap [0,1]$ e $(-1,1/2)$ è un aperto di $R$. Tuttavia $[0,1/2)$ NON è aperto in $R$. Questo per farti capire che gli aperti di $[0,1]$ non sono necessariamente aperti in $R$. Inoltre $[0,1]$ si può scrivere come unione di due suoi aperti per esempio $[0,1]=[0,2/3) \cup (1/3,1]$. E infatti $[0,1]$ è aperto in se stesso. Sembra una contraddizione ma non lo è. Ripeto $[0,1]$ è chiuso in $R$ ma è aperto in $[0,1]$. Un ricoprimento di $[0,1]$ mediante aperti di $X$ potrebbe essere ${(-1,2/3),(1/4,3/4),(1/2,2)}$. I corrispondenti aperti di $[0,1]$ sono invece le intersezioni ${$ $ [ 0,2/3),(1/4,3/4), (1/2,1] $ $}$. Quest'ultimo è un ricoprimento mediante aperti di $[0,1]$.
Vedi subito che $[0,1] \subset (-1,2/3) \cup (1/4,3/4) \cup (1/2,2)$. Invece $[0,1]= [0,2/3) \cup (1/4,3/4) \cup (1/2,1]$.
In conclusione le tue definizioni sono giuste e le puoi applicare per verificare la compattezza di un sottospazio nella sua topologia oppure puoi applicare il lemma che ti ho detto io prima che è più comodo... ma ti devi sempre rendere conto in che spazio stai lavorando. Di seguito ti metto una proposizione che giustifica tutto quello che si è detto finora.
Sia $X$ uno spazio topologico e sia $Y$ un suo sottoinsieme. La collezione di insiemi ${A \cap Y|A$ aperto di $ X}$ è una topologia su $Y$.
La dimostrazione è una semplice verifica della definizione di spazio topologico, ma ti ho gia confuso abbastanza...
Vedi subito che $[0,1] \subset (-1,2/3) \cup (1/4,3/4) \cup (1/2,2)$. Invece $[0,1]= [0,2/3) \cup (1/4,3/4) \cup (1/2,1]$.
In conclusione le tue definizioni sono giuste e le puoi applicare per verificare la compattezza di un sottospazio nella sua topologia oppure puoi applicare il lemma che ti ho detto io prima che è più comodo... ma ti devi sempre rendere conto in che spazio stai lavorando. Di seguito ti metto una proposizione che giustifica tutto quello che si è detto finora.
Sia $X$ uno spazio topologico e sia $Y$ un suo sottoinsieme. La collezione di insiemi ${A \cap Y|A$ aperto di $ X}$ è una topologia su $Y$.
La dimostrazione è una semplice verifica della definizione di spazio topologico, ma ti ho gia confuso abbastanza...
Grazie!!!!! Hai centrato in pieno ciò che non avevo capito e la tua spiegazione mi ha veramente illuminato. Ieri sera ci ho perso il sonno!
$uu_{i=1}^{oo} G_i | G_i={grazie}$
$uu_{i=1}^{oo} G_i | G_i={grazie}$
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