Sottopazio vettoriale ortogonale a un punto.
Mi è richiesto di trovare l'ortogonale in $RR^3$ al nucleo di una funzione surgettiva, e cioè che ha il nucleo ridotto al punto $(0,0,0)$
La risposta è una qualsiasi base ortogonale di $RR^3$, tipo la canonica?
La risposta è una qualsiasi base ortogonale di $RR^3$, tipo la canonica?
Risposte
Tutto $RR^3$ è ortogonale a $\ vec 0$: qualsiasi
vettore di $RR^3$ scalar il vettore nullo dà zero.
vettore di $RR^3$ scalar il vettore nullo dà zero.
-! (scusa, ma oggi mi sentirei pedante, se mi sentissi pedante...):
non necessariamente il nucleo di un'applicazione (lineare) suriettiva
ha come unico elemento il vettore nullo. Questo
è, necessariamente, se la funzione è iniettiva, ovvero
ogni valore è immagine di un solo argomento. Così, certamente
essendo $\vec0$per un applicazione lineare l'immagine di $\vec0$, se
l'applicazione è inettiva appunto $\vec0$ è l'unico elemento del nucleo.
non necessariamente il nucleo di un'applicazione (lineare) suriettiva
ha come unico elemento il vettore nullo. Questo
è, necessariamente, se la funzione è iniettiva, ovvero
ogni valore è immagine di un solo argomento. Così, certamente
essendo $\vec0$per un applicazione lineare l'immagine di $\vec0$, se
l'applicazione è inettiva appunto $\vec0$ è l'unico elemento del nucleo.
@ orazioster: quello che dici è vero se l'applicazione lineare è definita tra due spazi vettoriali di dimensione diversa. Credo che nato_pigro si riferisse ad un Endomorfismo lineare, cioè una applicazione lineare di uno spazio lineare in se stesso. Per il teorema delle dimensioni che afferma che $\dim V=\dim\ \ker(F)+\dim\ \Im(F)$, dove $F:V\rightarrow V$ la suriettività di $F$ implica che essa è anche iniettiva (e viceversa) e quindi che il nucleo è banale.
esatto. se $f$ è lineare si ha che surgettiva$<=>$iniettiva$<=> ker(f)=0_(RR^n)$
"nato_pigro":
se $f$ è lineare si ha che surgettiva$<=>$iniettiva$<=> ker(f)=0_(RR^n)$
La cosa interessante è che questo smette di valere se la dimensione dello spazio non è finita...
Ad esempio $s:c_0 to c_0$ che ad ogni successione infinitesima $x=(x_n) \in c_0$ associa $s(x)=(x_(n+1))$ (shift a sinistra) è suriettiva ma non iniettiva; oppure $d:c_0\to c_0$ che ad $x=(x_n)$ associa $d(x)=(0, x_1,x_2,\ldots ,x_n,\ldots )$ (shift a destra) è iniettiva ma non suriettiva...
"Gugo82":
[quote="nato_pigro"]se $f$ è lineare si ha che surgettiva$<=>$iniettiva$<=> ker(f)=0_(RR^n)$
La cosa interessante è che questo smette di valere se la dimensione dello spazio non è finita...
Ad esempio $s:c_0 to c_0$ che ad ogni successione infinitesima $x=(x_n) \in c_0$ associa $s(x)=(x_(n+1))$ (shift a sinistra) è suriettiva ma non iniettiva; oppure $d:c_0\to c_0$ che ad $x=(x_n)$ associa $d(x)=(0, x_1,x_2,\ldots ,x_n,\ldots )$ (shift a destra) è iniettiva ma non suriettiva...
[/quote]Stiamo a parlare di roba finita.... tu stai impazzendo appresso all'analisi funzionale!
Non sto impazzendo: è che queste cose mi divertivano quando ero "piccolo", quindi penso possano divertire anche nato_pigro (che sarà pure pigro, ma in fondo è curioso).
"Gugo82":
Non sto impazzendo: è che queste cose mi divertivano quando ero "piccolo", quindi penso possano divertire anche nato_pigro (che sarà pure pigro, ma in fondo è curioso).
Lo so che non impazzisci.... anzi!
(e in ogni caso, se stai impazzendo tu... allora siamo almeno in due!)
"ciampax":
@ orazioster: quello che dici è vero se l'applicazione lineare è definita tra due spazi vettoriali di dimensione diversa. Credo che nato_pigro si riferisse ad un Endomorfismo lineare, cioè una applicazione lineare di uno spazio lineare in se stesso. Per il teorema delle dimensioni che afferma che $\dim V=\dim\ \ker(F)+\dim\ \Im(F)$, dove $F:V\rightarrow V$ la suriettività di $F$ implica che essa è anche iniettiva (e viceversa) e quindi che il nucleo è banale.
Sì, certo. (il famigerato "nulità più rango")
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