Sottoinsiemi di $ \mathbb{R^2} $ chiusi rispetto a prodotto o somma

[continuumstst]

Un esercizio del Marco Abate chiede di trovare due sottoinsiemi di $ \mathbb{R^2} $:

1) tale che sia chiuso rispetto alla somma ma non rispetto al prodotto per scalari
2) tale che sia chiuso rispetto al prodotto per scalari ma non rispetto alla somma

Prima di tutto, non so se esista una via più formale di procedere rispetto all'indovinarli, quindi per ora ne ho trovato solo uno che penso essere chiuso rispetto alla somma ma non rispetto al prodotto per scalari (ma non sono sicuro visto che nella soluzione il testo menziona un altro sottoinsieme).
Ho pensato a $ \mathbb{R^+} $, visto che dati $ v \in \mathbb{R^+} $, $ v_1 \in \mathbb{R^+} $ e $ v_2 \in \mathbb{R^+} $, si ha $ v_1+v_2 \in \mathbb{R^+} $ ma, dato $ \lambda \in \mathbb(R) $ qualsiasi, non si ha $ \lambda * v \in \mathbb{R^+} $ visto che $ \lambda\ $ può essere negativo. E' corretto?
Per il punto 2) non ho idea invece

[killing_buddha]

Sì, per il primo punto ti è sufficiente prendere il quadrante \(\mathbb R_{\ge}\times \mathbb R_\ge\) in $RR^2$: la somma di elementi è dentro il cono, ma la moltiplicazione di un elemento per scalari negativi no.

Per la seconda, è sufficiente prendere l'unione degli assi: $V = \{x=0\}\cap \{y=0\}$ è chiuso per moltiplicazione scalare, contiene $(1,0)$ e $(0,1)$ ma non contiene $(1,1)$.