Sottoinsieme Massimale

[16chicca90]

questa è la definizione che da il mio libro:
sia $A sube V$ un sottoinsieme di uno spazio vettoriale $V$.
Diremo che $B sube A$ è un sottoinsieme massimale in $A$ di vettori linearmente indipendenti se gli elementi di $B$ sono lin. indipendenti e aggiungendo a $B $un qualunque elemento di $A$ si ottiene un insieme di vettori linearmente dipendenti.

pensavo di aver capito ma l'esempio mi ha sollevato dei dubbi

ESEMPIO:
sia$ V=[((b_1),(b_2),(0))|b_1,b_2 in RR]$
E $A=[v_1,v_2.((2),(0),(0)),e_1]subV$

adesso una base è
$B_1=(v_1,v_2)$ o $B_2=(v_1,e_1)$ sono esempi di sottoinsiemi massimali in A di vettori lin. indipendenti.

il mio dubbio è questo e i vettori lin. dipendenti di cui parlava prima???

[j18eos]

Chi sono: [tex]$v_1$[/tex]; [tex]$v_2$[/tex] ed [tex]$e_1$[/tex]?

[16chicca90]

hai ragione devo specificarvi chi sono
$v_1=((3),(1),(0))$
$v_2=((-1),(-1),(0))$
$e_1=((1),(0),(0))$

[j18eos]

Forse ho capito: osservandoli bene hai che [tex]$e_1=\frac{1}{2}(v_1+v_2)$[/tex] sicché [tex]$B_2$[/tex] un sistema libero massimale di [tex]$V$[/tex] in [tex]$A$[/tex]!

[Zero87]

"DAIANA":
Diremo che $B sube A$ è un sottoinsieme massimale in $A$ di vettori linearmente indipendenti se gli elementi di $B$ sono lin. indipendenti e aggiungendo a $B $un qualunque elemento di $A$ si ottiene un insieme di vettori linearmente dipendenti.

Io la sapevo un po' diversa, sapevo che un sottoinsieme è massimale se non si può aggiungere altro preservando la proprietà per cui è massimale. In altre parole, se $B$ è un sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti sapevo che aggiungendo un qualsiasi altro elemento questo era "necessariamente" una combinazione lineare di quelli presenti proprio perché $B$ è massimale per conto suo...

Ci riprovo: ho $B$ massimale formato da vettori linearmente indipendenti. Poiché $B$ è massimale, allora qualsiasi elemento di $A$ posso scriverlo come combinazione lineare di elementi di $B$. Quindi se aggiungo un ulteriore elemento a $B$, $B$ non è più formato da vettori indipendenti perché quello che aggiungo posso scriverlo come combinazione lineare degli altri...

Ah, non so se si è capita... Ho provato a cercare su Wikipedia ma mi da solo Hausdorff...

[dissonance]

Tempo fa ne avevamo parlato qui:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#383029

magari può essere d'aiuto, non lo so.