Sottoinsieme Massimale

[lewis1]

Salve a tutti.
Ho qualche difficoltà nel capire la definizione di sottoinsieme massimale...
Scrivo la definizione data a lezione:

Sia ${v_1, ..., v_n}$ un insieme di elementi di V spazio vettoriale sul corpo K.
Sia r un intero positivo r
Si dice che ${v_1,...v_n}$ è un sottoinsieme massimale di elementi linearmente indipendenti se:
- $v_1,...v_n$ sono linearmente indipendenti
- $AA v_i$ i>r gli elementi $v_1,...v_r,...,v_i$ sono linearmente dipendenti.

Innanzitutto: è corretta così formulata? (Non per sfiducia verso il mio prof quanto, più che altro, verso la mia vista, non esattamente ottima...magari ho copiato male!)
Se sì...mi potreste spiegare cosa significa esattamente?

grazie Mille.

Edit: ops...avevo perso per strada un \$

Buona serata

_L_

[Relegal]

Mi sembra che la definizione abbia senso !
Il significato è quello che il tuo insieme ${v_1, ..., v_n}$ contiene il massimo numero di elementi linearmente indipendenti tra loro.
Non è possibile cioè trovare uno o più elementi $w_1, w_2, . . .w_r$ distinti dai $v_i$ tali che l'insieme ${v_1, ..., v_n, w_1, w_2, . . .w_r}$ risulti costituito da elementi linearmente indipendenti.

[dissonance]

Comunque il concetto di "sottoinsieme massimale" ha un senso a sé, slegato dal contesto degli spazi vettoriali.

Precisamente, dato un insieme [tex]X[/tex] munito di una relazione d'ordine [tex]\preceq[/tex], diremo che un suo elemento [tex]x[/tex] è massimale se e solo se vale l'implicazione

[tex]\begin{equation} x \preceq y \Rightarrow y=x[/tex]

ovvero, più esplicitamente, [tex]x[/tex] è il massimo degli elementi che sono ad esso confrontabili.

Esempi:

L'esempio più semplice (e banale) di insieme ordinato è [tex]\mathbb{N}[/tex] con la usuale relazione d'ordine [tex]\le[/tex]. Evidentemente non ci sono elementi massimali, perché se [tex]n[/tex] fosse massimale, dalla ovvia relazione

[tex]n \le n+1[/tex]

seguirebbe che

[tex]n=n+1[/tex], e questo è falso.

Invece il sottoinsieme [tex]\{1, 2, 3, 4, 5\}[/tex] di [tex]\mathbb{N}[/tex] ha un elemento massimale. Quale sarà?

In generale non è vero che un insieme ordinato ha un solo elemento massimale. Abbiamo visto un esempio in cui non ce ne sono proprio; ora vediamo un altro esempio (tratto dal Munkres Topology). Consideriamo l'insieme di tutte le persone viventi in un istante fissato. Diciamo che una certa persona precede un'altra se ne è un discendente (figlio, nipote, figlio del nipote, ...). Ad esempio [tex]\mathrm{figlio} \preceq \mathrm{padre}[/tex]. Questo insieme ha più di un elemento massimale. Precisamente è elemento massimale di questo insieme ogni capostipite di famiglia, vivente all'istante fissato.

E infine un altro esempio ancora, stavolta più calzante al contesto.
Sia [tex]V[/tex] uno spazio vettoriale, e sia [tex]P[/tex] l'insieme delle sue parti linearmente indipendenti. La relazione di inclusione in [tex]P[/tex] è una relazione d'ordine. Gli elementi massimali di [tex]P[/tex] rispetto a questa relazione d'ordine sono precisamente i "sottoinsiemi massimali" a cui si riferisce il professore di lewis.

[lewis1]

"lewis":Salve a tutti.
Ho qualche difficoltà nel capire la definizione di sottoinsieme massimale...
Scrivo la definizione data a lezione:

Sia ${v_1, ..., v_n}$ un insieme di elementi di V spazio vettoriale sul corpo K.
Sia r un intero positivo r
Si dice che ${v_1,...v_n}$ è un sottoinsieme massimale di elementi linearmente indipendenti se:
- $v_1,...v_n$ sono linearmente indipendenti
- $AA v_i$ i>r gli elementi $v_1,...v_r,...,v_i$ sono linearmente dipendenti.

Ci ho riflettuto a fondo e ho capito cosa non ho capito Cioè: il sottoinsieme massimale che io definisco così, è
${v_1, ..., v_n}$ oppure ${v_1, ..., v_r}$?

E' questo che mi lascia molto perplessa...io in effetti ho scritto la prima delle due, però a logica mi verrebbe più spontaneo dire la seconda. Anche perchè se è giusto ${v_1, ..., v_n}$, non mi è chiaro il significato di r, o meglio come lo scelgo e a cosa serve...

Invece il sottoinsieme [tex]\{1, 2, 3, 4, 5\} di \mathbb{N}[/tex] ha un elemento massimale. Quale sarà?

Non ci arrivo, "dissonance"!!! Mi sta facendo impazzire sta cosa!! "Il massimo degli elementi che sono ad esso confrontabili" mi suggerirebbe 5, ma secondo me c'è l'inghippo da qualche parte!

Grazie ancora e buon pomeriggio!

[dissonance]

No, nessun inghippo! L'elemento massimale è proprio 5, ed è unico. Non è strano, perché tutti gli elementi sono confrontabili tra loro (ordine totale).

Invece l'insieme degli insiemi linearmente indipendenti di vettori non è ordinato in modo totale, e perciò di elementi massimali ce ne sono di più: ad esempio ${(1, 0), (0, 1)}$ e ${(1, 1), (2, 1)}$ sono due insiemi linearmente indipendenti di vettori di $RR^2$ e non sono confrontabili. Entrambi sono massimali.

Spero di non averti confuso le idee.

[dissonance]

Forse ho capito cosa aveva scritto il tuo professore!

Sia ${v_1, ..., v_n}$ un sottoinsieme di $V$ spazio vettoriale, $r
- i vettori $v_1, ..., v_r$ sono linearmente indipendenti;
- per ogni $m$ tale che $r
Ecco, così questa definizione è corretta. In sostanza ${v_1, ..., v_r}$ è un sottoinsieme l.i. e non si può aggiungere neanche un vettore senza che esso perda questa proprietà. Il che è compatibile con la definizione astratta di sottoinsieme massimale di un insieme ordinato: ${v_1,...,v_r}$ verifica la proprietà di sopra se e solo se esso è massimale nell'insieme dei sottoinsiemi l.i. di ${v_1, ..., v_n}$ ordinati per inclusione.

[lewis1]

"dissonance":Forse ho capito cosa aveva scritto il tuo professore!

Sia ${v_1, ..., v_n}$ un sottoinsieme di $V$ spazio vettoriale, $r
- i vettori $v_1, ..., v_r$ sono linearmente indipendenti;
- per ogni $m$ tale che $r
Ecco, così questa definizione è corretta. In sostanza ${v_1, ..., v_r}$ è un sottoinsieme l.i. e non si può aggiungere neanche un vettore senza che esso perda questa proprietà. Il che è compatibile con la definizione astratta di sottoinsieme massimale di un insieme ordinato: ${v_1,...,v_r}$ verifica la proprietà di sopra se e solo se esso è massimale nell'insieme dei sottoinsiemi l.i. di ${v_1, ..., v_n}$ ordinati per inclusione.

Ciao! Innanzitutto grazie per la pazienza...
Ci ho pensato e ripensato...non dovrebbbe essere invece che ${v_1,...,v_r}$ è sottoinsieme massimale di el. l.i se (sempre considerando ${v_1,...v_n}$ lin ind, e r - ${v_1,...v_r}$ linearmente indipendenti
- per qualsiasi $m > n$ si ha $v_1,...v_r,v_m$ linearmente dipendenti?

Grazie ancora e buona giornata

_L_

[mistake89]

Quello che scrivi lewis non è corretto, poichè se $v_1,...,v_n$ sono linearmente indipendenti, comunque si scelgono $r$ vettori tra questi ($r<=n)$ essi saranno sicuramente linearmente indipendenti, ma la massimalità non è contemplata. Dissonance nell'ultimo post credo abbia espresso il concetto del tuo prof al meglio.

[dissonance]

Beh no mistake, direi che va bene come dice lewis, e va male come diciamo noi. Lewis dice ${v_1..v_r}$ è l.i. massimale in ${v_1...v_n}$ se e solo se
1) ${v_1...v_r}$ è l.i.;
2) Comunque si prenda un vettore $v_i$ con $i>r$, l'insieme ${v_1...v_r, v_i}$ è l.d.

quindi, ${v_1...v_r}$ è l.i. e comunque si aggiunga un vettore diventa l.d. . Giusto. Invece noi diciamo che ${v_1...v_r}$ è l.i. e per ogni $m$ l'insieme ${v_1...v_r, v_{r+1}, ..., v_{n}}$ è l.d. . Sbagliato: prendi ad esempio $n=3, r=1$ e il sottoinsieme di $RR^3$

${(1, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 1, 0)}$.

Secondo la nostra teoria sballata, il sottoinsieme ${(1, 0, 0)}$ è l.i. massimale il che è falso perché è contenuto nel sottoinsieme l.i. ${(1, 0, 0), (0, 1, 0)}$.

[mistake89]

Ciò che affermi Dissonance è quello ceh volevo dire io, forse ho letto male il tuo post sopra

Però lewis dice:

${v_1,...,v_r}$ è sottoinsieme massimale di el. l.i se (sempre considerando ${v1,...vn}$ lin ind, e $r
Ed allora già decade la massimalità, poichè possiamo trovare $n-r$ vettori nello stesso spazio vettoriale linearmente indipendenti rispetto agli $r$ scelti.