Sottoinsieme di un compatto

[nadia891]

Ciao,
abbiamo da poco incominciato la lezione sui compatti ( di uno spazio topologico) e il professore ha dato la definzione (mediante ricoprimenti) di compattezza.
Il problema sorge nel momento in cui però devo studiare la compattezza di un sottoinsieme ad esempio il professore ci ha dato come esercizio quello di dimostrare che l'insieme $[0,1]$ è compatto di $RR$.
Il dubbio è la compattezza deve essere dimostrata sulla topologia euclidea (o topologia naturale) e quindi prendere come ricoprimenti aperti di $RR$ oppure sulla topologia indotta da $RR$ su $[0,1] $ e quindi considerare aperti $A^{\prime} = A cap [0,1]$ con $A $ aperto di $RR$ ?

[ViciousGoblin]

"nadia89":Ciao,
abbiamo da poco incominciato la lezione sui compatti ( di uno spazio topologico) e il professore ha dato la definzione (mediante ricoprimenti) di compattezza.
Il problema sorge nel momento in cui però devo studiare la compattezza di un sottoinsieme ad esempio il professore ci ha dato come esercizio quello di dimostrare che l'insieme $[0,1]$ è compatto di $RR$.
Il dubbio è la compattezza deve essere dimostrata sulla topologia euclidea (o topologia naturale) e quindi prendere come ricoprimenti aperti di $RR$ oppure sulla topologia indotta da $RR$ su $[0,1] $ e quindi considerare aperti $A^{\prime} = A cap [0,1]$ con $A $ aperto di $RR$ ?

Direi nella topologia indotta. La compattezza è una proprietà di uno spazio topologico quindi per rispondere alla domanda bisogna chiedersi in che senso $[0,1]$ è uno spazio topologico e l'unica risposta sensata in questo caso è di considerare in $[0,1]$ la topologia indotta (oppure potresti dire al professore che, non specificando la topologia, non ti ha fornito dati sufficienti ).

EDIT Comunque alla fine si tratta sempre di dimostrare che se l'unione di una famiglia di aperti di $RR$ contiene $[0,1]$ se ne trova una sottofamiglia finita che fa lo stesso
(ogni aperto in $[0,1]$ ogni è l'intersezione di un aperto in $RR$ con $[0,1]$, dunque dagli aperti di $[0,1]$ passi subito agli aperti di $RR$ ).

[dissonance]

"ViciousGoblin":[...]
Direi nella topologia indotta. La compattezza è una proprietà di uno spazio topologico quindi per rispondere alla domanda bisogna chiedersi in che senso $[0,1]$ è uno spazio topologico e l'unica risposta sensata in questo caso è di considerare in $[0,1]$ la topologia indotta (oppure potresti dire al professore che, non specificando la topologia, non ti ha fornito dati sufficienti ).

Comunque se non mi ricordo male si dimostra che è la stessa cosa considerare ricoprimenti con aperti di $RR$ (che quindi coprono anche qualche pezzo "al di fuori" di $[0, 1]$) o ricoprimenti con aperti di $[0, 1]$ nella topologia di sottospazio. Non essendoci ambiguità si parla così di "sottoinsieme compatto" di $RR$. Questo discorso vale in tutti gli spazi topologici.

[ViciousGoblin]

@ dissonance Ho editato il messaggio precedente mentre tu scrivevi il tuo. In effetti se lo spazio di cui si parla è un sottospazio di un ambiente dato è chiaro che gli
aperti si possono prendere nell'ambiente (per come è definita la topologia indotta).
Ma, all'inizio, non ho resistito al gusto della battuta.

[nadia891]

quindi in questo caso posso dimostrarlo considerando direttamente l'unione di aperti del tipo $]x_0 -r, x_0+r[ , r in RR$ ?

[ViciousGoblin]

"nadia89":quindi in questo caso posso dimostrarlo considerando direttamente l'unione di aperti del tipo $]x_0 -r, x_0+r[ , r in RR$ ?

Sì, ma se fai così usi il fatto che gli intervalli aperti sono una base per la topologia di $RR$.
Senza passare da questo fatto devi considerare una famiglia generica di aperti di $RR$, $(A_i)_{i\in I}$ tale che $[0,1]\subset\bigcup_{i\in I}A_i$ e mostrare che esiste un
sottoinsieme finito $J$ di $I$ tale che $[0,1]\subset\bigcup_{i\in J}A_i$

EDIT Comunque se lo fai per gli intervalli di fatto lo fai per gli aperti generici - quindi il punto è quello.

[nadia891]

si però è per capire che tipo di aperti devo utilizzare per dimostrarlo..

[ViciousGoblin]

"nadia89":si però è per capire che tipo di aperti devo utilizzare per dimostrarlo..

Stando alle definizioni (quelle che conosco io) devi dimostrare che

(1) se $(A_i)_{i\in I}$ è una famiglia di aperti in $[0,1]$ (dove considero a topologia indotta) tale che $[0,1]=\bigcup_{i\in I}A_i$, allora esiste un sottoinsieme finito $J$ di $I$ tale che $[0,1]=\bigcup_{i\in J}A_i$

Per come è definita la topologia indotta ogni $A_i$ è intersezione di un aperto $V_i$ di $RR$ con $[0,1]$: $A_i=V_i\cap[0,1]$. Dunque dimostrare (1) equivale a dimostrare

(2) se $(V_i)_{i\in I}$ è una famiglia di aperti in $RR$ tale che $[0,1]\subset\bigcup_{i\in I}V_i$, allora esiste un sottoinsieme finito $J$ di $I$ tale che $[0,1]\subset\bigcup_{i\in J}V_i$.

E quindi devi usare gli aperti generici di $RR$.
Se peraltro sai che ogni aperto $V_i$ è unione di intervalli aperti: $V=\bigcup_{k\in K_i}I_{i,k}$, dove gli $I_{i,k}$ sono intervalli (cosa ovvia per come sono definiti gli aperti in $RR$), non dovrebbe essere difficile vedere che (2) è equivalente a (cambiando gli insiemi di indici)

(3) se $(I_i)_{i\in \mathcal{I}}$ è una famiglia di intervalli aperti in $RR$ tale che $[0,1]\subset\bigcup_{i\in \mathcal{I}}I_i$, allora esiste un sottoinsieme finito $J$ di $\mathcal{I}$ tale che $[0,1]\subset\bigcup_{i\in J}I_i$.

Non so peraltro se (3) sia tanto meglio di (2) - credo in ogni caso che si debba passare per il teorema di Bolzano Weierstrass per cui ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente (o cose analoghe - dipende da cosa sai). In sostanza - secondo me - devi passare per la "compattezza sequenziale" che negli spazi metrici è equivalente a quella topologica.