Sottogruppi di isometrie discontinui

[DavideGenova1]

Ciao a tutti! Sono di nuovo qui... Trovo sul Sernesi, Geometria I (p. 273), che "un sottogruppo $G$ di \(\text{Isom}(\mathbf{E})\) [il gruppo di tutte le isometrie dello spazio euclideo $\mathbf{E}$] si dice discontinuo se per ogni $P\in\mathbf{E}$ esiste $r>0$ tale che nessuno dei punti \(g(P),g\in G\), sia contenuto nel disco \(\mathbf{D}(P,r)\)".
Ora, ogni sottogruppo contiene per definizione l'identità e direi che, se $g$ è l'identità, per qualunque $r>0$ \(\|Pg(P)\|=0
Ciò che dice il mio libro si riferisce a "nessuno dei punti $g(P),g\in G\\{e}$" (dove ho chiamato $e$, come fa il mio testo, l'identità), giusto?
Grazie di cuore a tutti!!!

[Salvo19911]

Sono abbastanza sicuro che tu abbia ragione.
L'idea di continuità di un gruppo di tr. unitarie è che ne puoi trovare di "prossime all'identità". Quando lo puoi fare si può rappresentare il gruppo in termini di uno spazio vettoriale.
Se ti interessa cerca su wikipedia " rapp. lineare unitaria" o gruppi di Lie e relative algebre.

[DavideGenova1]

\(+\infty\) grazie, Salvo!!!
Purtroppo non è impossibile che anche un testo ottimo come il Sernesi qui e là contenga qualche omissione o refuso...

[j18eos]

"DavideGenova":...Purtroppo non è impossibile che anche un testo ottimo come il Sernesi qui e là contenga qualche omissione o refuso...

Guarda, ci sono alcuni errori di battitura storici, e non solo tra i libri (di matematica); non te ne meravigliare mai ma leggi con attenzione quello che studi dai libri.

[DavideGenova1]

Grazie, Armando, per i consigli! La cosa veramente brutta è se studi da solo come faccio io -che lo faccio per puro piacere personale senza nemmeno frequentare l'università, almeno per ora- e, salvo gli amici internettiani di Matematicamente, non ho nessuno cui chiedere queste cose... A volte perdo giorni interi a cercare di farmi una ragione di certe cose, come quando ho trovato scritto che in \(\|\mathbf{v}+\mathbf{w}\|\leq\|\mathbf{v}\|+\|\mathbf{w}\|\) "vale l'uguaglianza se e solo se $\mathbf{v}$ e $\mathbf{w}$ sono paralleli" (che non è vero)...

[Salvo19911]

∥v+w∥≤∥v∥+∥w∥ "vale l'uguaglianza se e solo se v e w sono paralleli"
mi pare proprio di sì invece, mi troveresti un controesempio?

[DavideGenova1]

Per esempio \(\mathbf{w}=-\mathbf{v}\). Direi che invece vale l'uguaglianza se e solo se \(\mathbf{w}\) e \(\mathbf{v}\) sono paralleli e \(\langle\mathbf{w},\mathbf{v}\rangle\geq 0\), cioè\[\|\mathbf{v}+\mathbf{w}\|\leq\|\mathbf{v}\|+\|\mathbf{w}\|\iff(\mathbf{v}\|\mathbf{w}\wedge\langle\mathbf{w},\mathbf{v}\rangle\geq 0)\]
Essermi convinto di ciò che dice il libro mi stava portando a dimostrare cose in un modo totalmente sbagliato...