Sospensione di un insieme (topologia)
Salve,
Sto preparando un esame di topologia differenziale, ma sono uno studente di fisica del terzo anno,( infatti tale esame è opzionale), questa premessa giusto per dare un'idea della mie conoscenze matematiche.
Comunque sono arrivato ad imbattermi nel concetto di sospensione di uno spazio topologico. Vi scrivo la definizione e poi i punti che non mi sono chiari:
Def: dato uno spazio topologico $X$, lo spazio $C(X)=X\times[-1,1]$ si dice cilindro di $X$. La sospensione $S(X)$ di $X$ è il quoziente topologico del cilindro $C(X)$ con la relazione di equivalenza le cui uniche classi non banali sono la classe nord, costituita dalle coppie del tipo $(x,1)$ e la classe sud, le cui coppie hanno seconda componente -1.
Ammesso che abbia capito la definizione di quoziente, (ovvero l'insieme delle classi d'equivalenza), qual è la relazione di equivalenza da considerare in questa definizione?
Io non riesco proprio ad intuire cosa rappresenti questa sospensione, qualcuno potrebbe cercare di chiare il concetto? magari con un esempio.
Così magari acquista un senso anche il teorema che afferma che la sopsensione di $S^(m-1)$ (sfera vuota in $RR^m$) è omeomorfa a $S^m$ (sfera vuota in $RR^(m+1)$) !
Vi ringrazio in anticipo per eventuali risposte!
Sto preparando un esame di topologia differenziale, ma sono uno studente di fisica del terzo anno,( infatti tale esame è opzionale), questa premessa giusto per dare un'idea della mie conoscenze matematiche.
Comunque sono arrivato ad imbattermi nel concetto di sospensione di uno spazio topologico. Vi scrivo la definizione e poi i punti che non mi sono chiari:
Def: dato uno spazio topologico $X$, lo spazio $C(X)=X\times[-1,1]$ si dice cilindro di $X$. La sospensione $S(X)$ di $X$ è il quoziente topologico del cilindro $C(X)$ con la relazione di equivalenza le cui uniche classi non banali sono la classe nord, costituita dalle coppie del tipo $(x,1)$ e la classe sud, le cui coppie hanno seconda componente -1.
Ammesso che abbia capito la definizione di quoziente, (ovvero l'insieme delle classi d'equivalenza), qual è la relazione di equivalenza da considerare in questa definizione?
Io non riesco proprio ad intuire cosa rappresenti questa sospensione, qualcuno potrebbe cercare di chiare il concetto? magari con un esempio.
Così magari acquista un senso anche il teorema che afferma che la sopsensione di $S^(m-1)$ (sfera vuota in $RR^m$) è omeomorfa a $S^m$ (sfera vuota in $RR^(m+1)$) !
Vi ringrazio in anticipo per eventuali risposte!
Risposte
Disegna X come una macchia. Disegna un punto sopra X e uno sotto. Tira una riga da ogni punto di X al punto esterno sopra, e fai lo stesso col punto sotto. Quella e' la sospensione di X, perche' $X$ e' "sospeso" tra due punti da una serie di corde. Morale: la sospensione di un segmento e' un'amaca.
Piu' formalmente, devi prendere la relazione di equivalenza su $X\times[0,1]$ (mi viene meglio questo intervallo per ragioni psicologiche; la definizione ovviamente non cambia, mutatis mutandis) che dice di identificare due punti quando sono uguali, oppure quando sono della forma $(x,1)$, oppure quando sono della forma $(x,0)$. E' riflessiva? Si', per costruzione. E' simmetrica? Si', per definizione. E' transitiva? Si', banalmente.
Vediamo che $\Sigma S^n\cong S^{n+1}$. Devi prendere $S^n\times [0,1]$ e definire una mappa \(S^n\times [0,1]\to S^{n+1}\) che sia costante sulle classi di equivalenza rispetto alla relazione definita sopra. La proprieta' universale dei quozienti (o delle somme amalgamate, se preferisci) da' allora una unica mappa continua $\Sigma S^n\to S^{n+1}$, che poi mostrerai essere un isomorfismo.
Piu' formalmente, devi prendere la relazione di equivalenza su $X\times[0,1]$ (mi viene meglio questo intervallo per ragioni psicologiche; la definizione ovviamente non cambia, mutatis mutandis) che dice di identificare due punti quando sono uguali, oppure quando sono della forma $(x,1)$, oppure quando sono della forma $(x,0)$. E' riflessiva? Si', per costruzione. E' simmetrica? Si', per definizione. E' transitiva? Si', banalmente.
Vediamo che $\Sigma S^n\cong S^{n+1}$. Devi prendere $S^n\times [0,1]$ e definire una mappa \(S^n\times [0,1]\to S^{n+1}\) che sia costante sulle classi di equivalenza rispetto alla relazione definita sopra. La proprieta' universale dei quozienti (o delle somme amalgamate, se preferisci) da' allora una unica mappa continua $\Sigma S^n\to S^{n+1}$, che poi mostrerai essere un isomorfismo.
Intanto grazie 1000 per la risposta,
Non riesco però a trovare il collegamento tra la spiegazione intutiva e quella formale che mi hai dato! Ti spiego il mio ragionamento con un esempio, forse il problema è che non ho chiaro il concetto di spazio quoziente:
Sia $X=[a,b]$, con $[a,b]$ intervallo di $RR$ il cilindro di $X$ sarà $C(X)=[a,b]\times[0,1]$, ovvero un rettangolo in $RR^2$! Consideriamo la relazione d'equivalenza da te scritta: Due punti sono in relazione o se sono uguali, o se sono della forma $(x,1)$ o $(x,0)$! in base a questa relazione abbiamo che tutti i punti del lato del retteangolo "all'altezza" $1$ sono in relazione tra di loro, analogamente per quelli "all'altezza" $0$ , quindi abbiamo che queste sono le uniche classi di equivalenza(non banali), e l'inseime quoziente è l'insieme di queste due lati ad "altezze diverse"!
Mentre le classi banali sono cosituite da tutti i punti visto che per definizione un punto è in relazione con se stesso!
Questo è tutto ciò che riesco ad estrarre dalla definizione formale data, quindi in conlusone la sospensione di un segmento dovrebbe essere composta da due segmenti ad altezze diverse, in evidente disaccordo con quello che dici tu
, quindi mi chiedo dove è che il mio ragionamento è sbagliato??
Inoltre giusto per chiarezza, la sospensione di un segmento hai detto essere un amaca. Rifacendosi all'esempio da me proposto, la sospensione di quel un segmento è una figura in $RR^2$ composta da 2 triangoli avendo come base comune il segmento di partenza? ti riferisci a questo con amaca?
Grazie ancora il tempo dedicatomi!
Non riesco però a trovare il collegamento tra la spiegazione intutiva e quella formale che mi hai dato! Ti spiego il mio ragionamento con un esempio, forse il problema è che non ho chiaro il concetto di spazio quoziente:
Sia $X=[a,b]$, con $[a,b]$ intervallo di $RR$ il cilindro di $X$ sarà $C(X)=[a,b]\times[0,1]$, ovvero un rettangolo in $RR^2$! Consideriamo la relazione d'equivalenza da te scritta: Due punti sono in relazione o se sono uguali, o se sono della forma $(x,1)$ o $(x,0)$! in base a questa relazione abbiamo che tutti i punti del lato del retteangolo "all'altezza" $1$ sono in relazione tra di loro, analogamente per quelli "all'altezza" $0$ , quindi abbiamo che queste sono le uniche classi di equivalenza(non banali), e l'inseime quoziente è l'insieme di queste due lati ad "altezze diverse"!
Mentre le classi banali sono cosituite da tutti i punti visto che per definizione un punto è in relazione con se stesso!
Questo è tutto ciò che riesco ad estrarre dalla definizione formale data, quindi in conlusone la sospensione di un segmento dovrebbe essere composta da due segmenti ad altezze diverse, in evidente disaccordo con quello che dici tu
, quindi mi chiedo dove è che il mio ragionamento è sbagliato??Inoltre giusto per chiarezza, la sospensione di un segmento hai detto essere un amaca. Rifacendosi all'esempio da me proposto, la sospensione di quel un segmento è una figura in $RR^2$ composta da 2 triangoli avendo come base comune il segmento di partenza? ti riferisci a questo con amaca?
Grazie ancora il tempo dedicatomi!
Fai quello che accade dal minuto 0:45 in questo video https://www.youtube.com/watch?v=Ffyom3ZYKp0 ma fallo anche alla base inferiore. Quella e' la sospensione di $S^1$. Mutatis mutandis fai la stessa cosa ad ogni spazio. Devo stare attento a non usare il verbo "shrinkare". 
Analitivamente \(\displaystyle S^m\subset \mathbb{R}^{m+1} \) è l'insieme dei punti tali che
\[ \sum_{i=0}^m x_i^2 = 1 \]
Per \(\displaystyle x_m = r\neq \{-1,1\} \) si ha che
\[ \sum_{i=0}^{m-1} x_i^2 = 1 - r^2 \]
o scritto in un'altro modo
\[ \sum_{i=0}^{m-1} \biggl(\frac{x_i}{\sqrt{1-r^2} }\biggr)^2 = 1 \]
Questo significa che, per ogni \(\displaystyle r\neq \{-1,1\} \), \(\displaystyle x_i = y_i \sqrt{1-r^2} \) per \(\displaystyle \mathbf{y}\in S^{m-1}\subset \mathbb{R}^m \).
\[ \sum_{i=0}^m x_i^2 = 1 \]
Per \(\displaystyle x_m = r\neq \{-1,1\} \) si ha che
\[ \sum_{i=0}^{m-1} x_i^2 = 1 - r^2 \]
o scritto in un'altro modo
\[ \sum_{i=0}^{m-1} \biggl(\frac{x_i}{\sqrt{1-r^2} }\biggr)^2 = 1 \]
Questo significa che, per ogni \(\displaystyle r\neq \{-1,1\} \), \(\displaystyle x_i = y_i \sqrt{1-r^2} \) per \(\displaystyle \mathbf{y}\in S^{m-1}\subset \mathbb{R}^m \).
Per killing_buddha:
Ok, adesso ho capito almeno il concetto intuitivo di sospensione, quello che non mi è ancora molto chiaro è come mai la definizione indici proprio quella roba là, ma come ho già detto il problema mi sa proprio essere lo spazio quoziente, dovrò riguardare il significato geometrico di quello!
Per Vict85:
Per quanto ho capito, mi pare che tu abbia dimostrato che "affettando" la sfera $S^m$ ad un "altezza" minore dei poli si ottiene un insieme insieme che è omeorfo a $S^(m-1)$ (attraverso l'omeorfismo $x_i=y_i*sqrt(1-r^2)$) a, mi sbaglio?? Nel caso non mi sbagli, non ho capito il collegamento con il fatto che la sospensione di $S^(m-1)$ sia omeomorfa a $S^m$.
Grazie comunque per la risposta!
Ok, adesso ho capito almeno il concetto intuitivo di sospensione, quello che non mi è ancora molto chiaro è come mai la definizione indici proprio quella roba là, ma come ho già detto il problema mi sa proprio essere lo spazio quoziente, dovrò riguardare il significato geometrico di quello!
Per Vict85:
Per quanto ho capito, mi pare che tu abbia dimostrato che "affettando" la sfera $S^m$ ad un "altezza" minore dei poli si ottiene un insieme insieme che è omeorfo a $S^(m-1)$ (attraverso l'omeorfismo $x_i=y_i*sqrt(1-r^2)$) a, mi sbaglio?? Nel caso non mi sbagli, non ho capito il collegamento con il fatto che la sospensione di $S^(m-1)$ sia omeomorfa a $S^m$.
Grazie comunque per la risposta!
Quello che volevo mostrati era la mappa suriettiva da \(S^{m-1}\times [-1,1] in S^{m-1}\). Quello che manca è mostrare che le cose coincidano.
"gcm.kf":
Def: dato uno spazio topologico $X$, lo spazio $C(X)=X\times[-1,1]$ si dice cilindro di $X$. La sospensione $S(X)$ di $X$ è il quoziente topologico del cilindro $C(X)$ con la relazione di equivalenza le cui uniche classi non banali sono la classe nord, costituita dalle coppie del tipo $(x,1)$ e la classe sud, le cui coppie hanno seconda componente -1.
Scusa se mi permetto, ma ho riconosciuto la definizione. Non starai mica preparando l'esame di Topologia Differenziale con il prof. Furi? Perché in tal caso, l'ho fatto anche io quando ero a Firenze ed è un esame bellissimo! Eravamo solo due matematici assieme a cinque fisici.
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