Sospensione della sfera
Mi si chiede di dimostrare che la sospensione \( \Sigma S^n \approx S^{n+1} \) e che la sospensione iterata \( \Sigma^n S^0 \approx S^n \).
Dimostrato \( \Sigma S^n \approx S^{n+1} \) è immediato che \( \Sigma^n S^0 \approx S^n \).
Le soluzioni mi dicono questa roba qui ma secondo me è sbagliata perché l'applicazione che definisce non passa al quoziente, come invece dice.
Definiamo un'applicazione \( S^n \times I \to S^{n+1} \) definita da \[ (x_0,\ldots, x_n;t) \mapsto ( x_0 \sqrt{1-t^2}, \ldots, x_n \sqrt{1-t^2}, t) \]
Questa applicazione passa al quoziente e induce una freccia \( \Sigma S^n \to S^{n+1} \). La sa inversa è indotta dall'applicazione \( S^{n+1} \to S^n \times I \) data da
\[ (y_0, \ldots, y_{n+1} ) \mapsto ( \frac{y_0}{\sqrt{1-y_{n+1}^2}}, \ldots , \frac{y_n}{\sqrt{1-y_{n+1}^2}}, y_{n+1} ) \]
Possiamo ugualmente notare che l'applicazione identità \( I^n \times I \to I^{n+1} \) induce un applicazione \( I^n / \partial I^n \wedge I / \partial I \to I^{n+1} / \partial I^{n+1} \) che è un omeomorfismo.
Ora al di là del fatto che se fosse corretto quanto dice non capisco perché questo dimostra che \( \Sigma S^n \approx S^{n+1} \) . Ad ogni modo secondo me l'applicazione definita da
\[ (x_0,\ldots, x_n;t) \mapsto ( x_0 \sqrt{1-t^2}, \ldots, x_n \sqrt{1-t^2}, t) \]
non passa al quoziente.
Infatti per definizione abbiamo che la sospensione \( \Sigma A = CA/ A \times 1 \), dove con \( CA \) intendo il cono e per definizione è \( CA = A \times I / A \times 0 \). O in modo alternativo possiamo vederla come \( \Sigma A = A \times I / \{A \times 0, A \times 1 \} \).
Pertanto se quell'applicazione, che chiamo \(f \), passa al quoziente vuol dire che per ogni \( x \sim y \) abbiamo che \( f(x)=f(y) \). Ma presi \( x:=(x_0,\ldots,x_n,0) \sim (y_0, \ldots,y_n,0)=:y \) abbiamo che le loro immagini sono \( f(x) = x \neq y = f(y) \).
Quindi dovrebbe definire l'applicazione \( f \) che va da \( CS^n \times I \to S^{n+1} \) e quella sì che passa al quoziente infatti presi \( x \sim y \) se stanno in \( x,y \in S^n \times 1 \) e dunque \( x:=(x_0,\ldots,x_n,1) \sim (y_0,\ldots,y_n,1)=:y \) e dunque abbiamo \( f(x)=(0,\ldots,0,1) = f(y) \). O sbaglio? Ma dopo l'inversa come fa a definirla? C'è un problema quando \( y_{n+1}=1 \).
Sbaglio?
Dimostrato \( \Sigma S^n \approx S^{n+1} \) è immediato che \( \Sigma^n S^0 \approx S^n \).
Le soluzioni mi dicono questa roba qui ma secondo me è sbagliata perché l'applicazione che definisce non passa al quoziente, come invece dice.
Definiamo un'applicazione \( S^n \times I \to S^{n+1} \) definita da \[ (x_0,\ldots, x_n;t) \mapsto ( x_0 \sqrt{1-t^2}, \ldots, x_n \sqrt{1-t^2}, t) \]
Questa applicazione passa al quoziente e induce una freccia \( \Sigma S^n \to S^{n+1} \). La sa inversa è indotta dall'applicazione \( S^{n+1} \to S^n \times I \) data da
\[ (y_0, \ldots, y_{n+1} ) \mapsto ( \frac{y_0}{\sqrt{1-y_{n+1}^2}}, \ldots , \frac{y_n}{\sqrt{1-y_{n+1}^2}}, y_{n+1} ) \]
Possiamo ugualmente notare che l'applicazione identità \( I^n \times I \to I^{n+1} \) induce un applicazione \( I^n / \partial I^n \wedge I / \partial I \to I^{n+1} / \partial I^{n+1} \) che è un omeomorfismo.
Ora al di là del fatto che se fosse corretto quanto dice non capisco perché questo dimostra che \( \Sigma S^n \approx S^{n+1} \) . Ad ogni modo secondo me l'applicazione definita da
\[ (x_0,\ldots, x_n;t) \mapsto ( x_0 \sqrt{1-t^2}, \ldots, x_n \sqrt{1-t^2}, t) \]
non passa al quoziente.
Infatti per definizione abbiamo che la sospensione \( \Sigma A = CA/ A \times 1 \), dove con \( CA \) intendo il cono e per definizione è \( CA = A \times I / A \times 0 \). O in modo alternativo possiamo vederla come \( \Sigma A = A \times I / \{A \times 0, A \times 1 \} \).
Pertanto se quell'applicazione, che chiamo \(f \), passa al quoziente vuol dire che per ogni \( x \sim y \) abbiamo che \( f(x)=f(y) \). Ma presi \( x:=(x_0,\ldots,x_n,0) \sim (y_0, \ldots,y_n,0)=:y \) abbiamo che le loro immagini sono \( f(x) = x \neq y = f(y) \).
Quindi dovrebbe definire l'applicazione \( f \) che va da \( CS^n \times I \to S^{n+1} \) e quella sì che passa al quoziente infatti presi \( x \sim y \) se stanno in \( x,y \in S^n \times 1 \) e dunque \( x:=(x_0,\ldots,x_n,1) \sim (y_0,\ldots,y_n,1)=:y \) e dunque abbiamo \( f(x)=(0,\ldots,0,1) = f(y) \). O sbaglio? Ma dopo l'inversa come fa a definirla? C'è un problema quando \( y_{n+1}=1 \).
Sbaglio?
Risposte
Se immergi opportunamente il cilindro su $S^n$ e $S^{n+1}$ nei rispettivi spazi euclidei, la mappa che deve passare al quoziente manda la copia di $S^n$ ad altezza $t$ nel cilindro nella intersezione di $S^{n+1}$ con il piano "orizzontale" di altezza $t$; chiaramente questa cosa è continua, e passa al quoziente (è costante proprio sulle cose che shrinki). E' un omeomorfismo? Boh, mah, chissà!
Ho capito grazie.
Per il fatto che passa al quoziente credo di aver capito, con \(I \) intende \([-1,1] \) e non [0,1], forse.
Per il fatto che passa al quoziente credo di aver capito, con \(I \) intende \([-1,1] \) e non [0,1], forse.
Sì, a meno di riparametrizzare ovviamente i due oggetti sono isomorfi.
Tra l'altro scusa se rispondo sempre a distanza, ma ho molti altri corsi e studio sparse le cose durante le settimane.
Sì, beh, non è che di questi tempi ci corra dietro nessuno. Studia! La topologia algebrica è affascinante.
Tra l'altro avrei una domanda, la sospensione dell unione è uguale all'unione della sospensione?
Cioé Io ho che \(S^n = S^{n-1} \cup e^n \cup e^n \) se avessi \[ \sum S^n = \sum \left( S^{n-1} \cup e^n \cup e^n \right) = \sum S^{n-1} \cup \sum e^n \cup\sum e e^n = S^n \cup e^{n+1} \cup e^{n+1} \] allora per induzione si fa rapidamente.
i) Pertanto mi chiedo è vero che la sospensione di una \(n\)-cellula è una \(n+1\)-cellula.
ii) È vero che \( \sum X \cup Y = \sum X \cup \sum Y \) ?
Cioé Io ho che \(S^n = S^{n-1} \cup e^n \cup e^n \) se avessi \[ \sum S^n = \sum \left( S^{n-1} \cup e^n \cup e^n \right) = \sum S^{n-1} \cup \sum e^n \cup\sum e e^n = S^n \cup e^{n+1} \cup e^{n+1} \] allora per induzione si fa rapidamente.
i) Pertanto mi chiedo è vero che la sospensione di una \(n\)-cellula è una \(n+1\)-cellula.
ii) È vero che \( \sum X \cup Y = \sum X \cup \sum Y \) ?
Dipende da cosa intendi per "unione"
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo