Sono la stessa proprietà?!

[garnak.olegovitc1]

Salve a tutti,
mi ritrovo a dimostrare due proprietà che sembrano essere le stesse... :

"Proprietà 1":Siano dati \( E \) uno spazio vettoriale su \(K \) rispetto ad \( +_E\) ed \( \cdot_E \), \( n:=dim_K(E) \), ed \( \{v_1,v_2,...,v_p\} \subseteq E \), ove \( \{v_1,v_2,...,v_p\} \) è base di \( E \), allora \( p=n\)

"Proprietà 2":Siano dati \( E \) uno spazio vettoriale su \(K \) rispetto ad \( +_E\) ed \( \cdot_E \), \( n:=dim_K(E) \), ed \( \{v_1,v_2,...,v_n\} \subseteq E \), ove \( \{v_1,v_2,...,v_n\} \) è libero su \( K \), allora \( \{v_1,v_2,...,v_n\} \) è base di \( E \)

Sono la stessa cosa?
Ringrazio anticipatamente!!

Cordiali saluti

[gugo82]

Beh, ad occhio direi che dipende da come hai definito la nozione di "base".

[vict85]

Non sono la stessa identica cosa. Quello che sta dicendo il primo è che ogni base ha la stessa cardinalità, mentre il secondo dice che se un insieme di vettori indipendenti ha la stessa cardinalità di una base allora è essa stessa una base (non sono sicuro che questa ultima cosa sia vera nel caso infinito).

Sinceramente ho sempre considerato la definizione di dimensione successiva a questi due teoremi. Pertanto trovo quanto meno strano il riferimento alla dimensione nella loro enunciazione.

[gugo82]

"vict85":Sinceramente ho sempre considerato la definizione di dimensione successiva a questi due teoremi. Pertanto trovo quanto meno strano il riferimento alla dimensione nella loro enunciazione.

Concordo.


P.S.: "Enunciazione"?
Tipo: "Enunciazione, enunciazione! Tu Marì, Marì, fai il figlio di Salvatore! Gabriele ti ha dato la buona notizia! Enunciazione, enunciazione!"

[garnak.olegovitc1]

Salve gugo82,

"gugo82":Beh, ad occhio direi che dipende da come hai definito la nozione di "base".

la definizione di base è:

"Definizone":siano dati \( E \) uno spazio vettoriale su \( K\) rispetto ad \( +_E \) e \( \cdot_E \), ed \( \{v_1,v_2,...,v_p\} \subseteq E \), dicesi che \( \{v_1,v_2,...,v_p\} \) è una base di \( E \) se \( \{v_1,v_2,...,v_p\} \) è insieme generatore di \( E \) e \( \{v_1,v_2,...,v_p\} \) è linearmente indipendente su \( K \)

[garnak.olegovitc1]

Salve vict85,

"vict85":
Sinceramente ho sempre considerato la definizione di dimensione successiva a questi due teoremi. Pertanto trovo quanto meno strano il riferimento alla dimensione nella loro enunciazione.

pure io in alcuni testi ho trovato diversamente, mhà... domanderò al docente del perchè le ha scritte così!!!

Cordiali saluti