Sono dei typo questi?

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Considera lo spazio metrico \( (X,d_X) \) dimostra che la funzione \( d(x,y) : ( X\times X, d_{X \times X} \to ( \mathbb{R} , \tau_E ) \) è continua
Secondo me ci sono due typo oppure non so dove sbaglio...
In primo luogo io ho interpetato \( d(x,y) \) come \( d_X \) (primo typo)
Inoltre non capisco una cosa delle soluzioni, secondo me ha fatto un typo.

Dice che è sufficiente dimostrare che \( \forall (x,y) \in X \times X \) e \( \forall \epsilon >0 \) esiste un \( \delta \) tale che
\[ B_{d_{X \times X}}((x,y),\delta) \subset (d_X(x,y) - \epsilon, d_X(x,y) + \epsilon ) \]
Secondo me questo è un secondo typo, infatti dati due spazi metrici \( (X,d_X) \) e \( (Y,d_Y) \) e una funzione \( f : X \to Y \) allora \( f \) continua se e solo se \( \forall x \in X \) e \( \forall \epsilon >0 \) esiste un \( \delta >0 \) tale che \( f(B_{d_X}(x,\delta) ) \subset B_{d_Y}(f(x),\epsilon) \)

Pertanto sarebbe più corretto dire
\[ d_X(B_{d_{X \times X}}((x,y),\delta)) \subset (d_X(x,y) - \epsilon, d_X(x,y) + \epsilon ) \]
siete d'accordo?

Comunque è facile verificare \( \delta = \epsilon \) verifica quanto richiesto utilizzando due volte la disuguaglianza triangolare infatti dato
\( d_{X \times X}((x,y),(x',y') ) = d_X(x,x') + d_X(y,y') < \epsilon \)
abbiamo che
\( d_X(x',y') \leq d_{X \times X}((x,y),(x',y') ) + d_X(x,y) \leq \epsilon + d(x,y) \)
\( d_X(x,y) \leq d_{X \times X}((x,y),(x',y') ) + d_X(x',y') \)
pertanto
\( d_X(x,y) - \epsilon \leq d_X(x',y') \)
e dunque \( d(x',y') \in (d_X(x,y) - \epsilon, d_X(x,y) + \epsilon )\)

[otta96]

Hai ragione in entrambi i casi.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Ok perfetto grazie