Somme e intersezioni tra sottosp. vett...... alcuni dubbi!

[x-zany2000]

salve a tutti...ho iniziato da poco algebra lineare e ho molti dubbi! intanto ne posto uno:

sapreste spiegarmi il significato di questa proposizione, trovata del libro sotto il paragrafo "intersezione e somme di sottospazi vettoriali":

"il più piccolo sottospazio vettoriale contenente i sottospazi vettoriali V1 e v2 è dato dall'intersezione V12 di tutti sottospazi vettoriali di V contenenti V1 e V2."

1) cosa significa "il più piccolo"?
2) un sottosp. vett. può contenere altri sottosp. vett.?
3) V12 contiene i sottosp. vet. V1 e V2 o i sottosp. vett che contengono V1 e V2?

[_prime_number]

1) Significa che qualunque sottospazio vettoriale $W$con $V_1, V_2\subset W$ è necessariamente tale che $V_{12}\subset W$.
2) Certo. Esempio: in $\mathbb{R}^3$ hai $\subset $
3) Contiene $V_1$ e $V_2$ e, ribadendo il punto 1), è contenuto in tutti gli altri sottospazi che contengono $V_1$ e $V_2$.

Paola

[x-zany2000]

"prime_number":1) Significa che qualunque sottospazio vettoriale $W$con $V_1, V_2\subset W$ è necessariamente tale che $V_{12}\subset W$.
2) Certo. Esempio: in $\mathbb{R}^3$ hai $\subset $
3) Contiene $V_1$ e $V_2$ e, ribadendo il punto 1), è contenuto in tutti gli altri sottospazi che contengono $V_1$ e $V_2$.

Paola

ma quindi V12 contiene solo V1 e V2...no?

un altra cosa...la somma V1+V2 (sottosp. vet) è l'insieme che contiene la somma v1+v2 (elementi, rispettivamente, di V1 e V2). giusto? e V12, come definito prima, coincide con V1+V2??

[_prime_number]

[tex]V_{12} \neq V_1 \cup V_2[/tex] perché l'unione di spazi vettoriali non è in generale uno spazio vettoriale. Prendi come esempio [tex]\mathbb{R}^4, V_1 =, V_2 = \Rightarrow V_{12}=[/tex] il quale contiene altri spazi vettoriali di [tex]\mathbb{R}^4[/tex] oltre ai due di partenza.

Riguardo alla seconda domanda: basta leggere qui.

Paola

[x-zany2000]

scusa ma continuo a non capire...

"prime_number": Prendi come esempio [tex]\mathbb{R}^4, V_1 =, V_2 = \Rightarrow V_{12}=[/tex] il quale contiene altri spazi vettoriali di [tex]\mathbb{R}^4[/tex] oltre ai due di partenza.

cioè contiene anche $V_3 =$? ma questo vale indipendentemente dal fatto che siano spazi vettoriali? cioè qualsiasi insieme di 2 sottoinsiemi contiene altri sottoinsiemi oltre a quei 2...

grazie mille comunque dell'aiuto

[_prime_number]

Esatto, contiene ad esempio anche quello lì, perché deve contenere tutte le combinazioni lineari di [tex]e_1,e_2,e_3[/tex], quindi in particolare conterrà anche quelle di solo [tex]e_1,e_3[/tex]
L'ultima tua domanda invece non l'ho capita: cosa significa "insieme di 2 sottoinsiemi" e tutto il resto?

Paola

[x-zany2000]

cioè intendevo che se in un insieme A si trovano 2 insiemi B=(a,b) e C=(c,d) allora esiste una altro insieme (in A) composto dalle combinazioni di tutti gli elementi in A, era una domanda stupida forse...
comunque il $V_12$ scritto come hai fatto tu non è l'unione di $V_1$ e $V_2$? cioè comprende tutti gli elementi sia di $V_1$ che di $V_2$...oppure non ho ben chiara la definizione di unione...

[_prime_number]

Se sei debole sui concetti insiemistici di base è importante che ripassi, altrimenti non puoi affrontare un corso sugli spazi vettoriali. La definizione di unione la puoi googlare.
In generale l'unione di due spazi vettoriali non è uno spazio vettoriale. Il $V_{12}$ da me scritto sembra l'unione solo in apparenza.
La tua domanda sugli insiemi non è ben posta perché il concetto di "combinazione lineare" non è applicabile su insiemi qualunque.

Paola

[x-zany2000]

cosa significa che sembra l'unione solo in apparenza?

[_prime_number]

Niente di particolare... Volevo solo dire che tu hai pensato che fosse l'unione perché mi hai visto semplicemente mettere insieme i generatori... ma in un caso tipo
[tex]V_1 = ,V_2 = [/tex], hai [tex]V_{12} = [/tex]

Paola

[x-zany2000]

riesci a farmi un esempio numerico?
tipo $W_1={(x,0)}=<(1,0)>$ e $W_2={(x,y): x=y}=<(1,0),(0,1)>$ sottosp. di $R^2$...

[_prime_number]

Il tuo [tex]W_2[/tex] per come lo hai definito è [tex]<(1,1)>[/tex] e non quello che hai scritto.
In questo caso [tex]W_{12}=<(1,0), (1,1)>[/tex](poichè deve contenere entrambi e deve essere uno spazio vettoriale a sua volta}[tex]=\mathbb{R}^2[/tex].

Paola

[x-zany2000]

ah già...mi sono sbagliato! comunque $W_{12}$ è intersezione di $W_1$ e $W_2$?

[_prime_number]

No, secondo la tua definizione deve contenerli entrambi, quindi come può essere intersezione?
Se vuoi il mio parere, credo che tu non abbia affatto chiari i significati di unione, intersezione insiemistica, ecc. Ti consiglio un ripasso prima che sia troppo tardi, nel trattare gli spazi vettoriali e molte altre cose queste sono conoscenze che si danno più che per scontate.

Paola

[x-zany2000]

ah...già perchè $V_12$ è l'intersezione dei sottospazi che contengono $V_1$ e $V_2$, e non l'intersezione di $V_1$ e $V_2$! che scemo che sono:)

ma quindi ultima domanda perchè poi forse ho capito...mi puoi dire qual'è l'intersezione di $W_1$ e $W_2$

grazie mille!

[_prime_number]

E' vuota e lo vedi dal fatto che non puoi ottenere il generatore di uno dal generatore dell'altro.

Paola