Somme dirette e autospazi
Ciao, amici! Sono interessato al rapporto c'è tra il fatto che uno spazio vettoriale $V$, reale o complesso, sia somma diretta di sue varietà lineari (nel senso di sottospazi vettoriali, non necessariamente chiusi* e il fatto che tale varietà lineare sia autospazio di un certo operatore lineare.
In particolare, data una proiezione $P:V\to V$, un operatore lineare tale cioè che $P^2=P$, so che $V= P V\oplus (I-P) V$, quindi \(\forall x\in P V\quad Px=x\) e \(\forall y\in (I-P) V\quad Py=0\). Ciò direi che implichi che se $Px=\lambda x$ allora $P^2x=Px=\lambda Px$ e quindi o $\lambda=1$ o $Px=0$, quindi gli autovalori di $P$ sono 0 e 1.
So anche che se \(\dim (V)=n<\infty\), un endomorfismo $A:V\to V$ è diagonalizzabile se e solo se $V$ è somma diretta degli autospazi di $A$.
Mi chiedevo in generale che cosa si può dire nel caso di spazi $V$ di dimensione infinita.
$\infty$ grazie per ogni risposta, dimostrazione diretta e riferimento bibliografico!
*A proposito: se \(V=\bigoplus_{n} U_n\) dove $U_n$ sono varietà lineari di un sottospazio topologico (o in particolare normato) lineare $V$, le $U_n$ sono automaticamente chiuse? Se $V_{\lambda}$ è un autospazio di un operatore $A$, $V_{\lambda}$ è chiuso?
In particolare, data una proiezione $P:V\to V$, un operatore lineare tale cioè che $P^2=P$, so che $V= P V\oplus (I-P) V$, quindi \(\forall x\in P V\quad Px=x\) e \(\forall y\in (I-P) V\quad Py=0\). Ciò direi che implichi che se $Px=\lambda x$ allora $P^2x=Px=\lambda Px$ e quindi o $\lambda=1$ o $Px=0$, quindi gli autovalori di $P$ sono 0 e 1.
So anche che se \(\dim (V)=n<\infty\), un endomorfismo $A:V\to V$ è diagonalizzabile se e solo se $V$ è somma diretta degli autospazi di $A$.
Mi chiedevo in generale che cosa si può dire nel caso di spazi $V$ di dimensione infinita.
$\infty$ grazie per ogni risposta, dimostrazione diretta e riferimento bibliografico!
*A proposito: se \(V=\bigoplus_{n} U_n\) dove $U_n$ sono varietà lineari di un sottospazio topologico (o in particolare normato) lineare $V$, le $U_n$ sono automaticamente chiuse? Se $V_{\lambda}$ è un autospazio di un operatore $A$, $V_{\lambda}$ è chiuso?
Risposte
Per gli autovalori della proiezione, ok, sono d'accordo. Su tutto il resto, non si può dire molto a meno che lo spazio di dimensione infinita $V$ non sia dotato di una topologia, cosa che assumi pure tu visto che parli di sottospazi "chiusi".
Quando $V$ è uno spazio di Hilbert, c'è tutta una lunga e piuttosto complicata teoria sull'argomento che è spiegata bene su un sacco di libri. E' un argomento classico.
Quando $V$ è uno spazio di Hilbert, c'è tutta una lunga e piuttosto complicata teoria sull'argomento che è spiegata bene su un sacco di libri. E' un argomento classico.
Grazie per il chiarimento!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo