Somma sottospazi

[teopd]

Ciao a tutti!
Facendo un esercizio mi si chiede di trovare, dati due sottospazi U e V, una base di U e una di V, la base della somma e dell'intersezione.
Ho trovato che una base di U è $<(1,2,1),(0,1,0)>$ e una base di V è $<(-2,1,0),(-1,0,1)>$
Poi negli ultimi due punti dell'esercizio mi si chiede:
a) risulta $U+V=\mathbb{R}^3$ ?
b) risulta $U\oplus V=\mathbb{R}^3$?

Dai calcoli mi risulta che $dim (U+V)=3$ e $(U\oplus V)=(1,2,1),(0,1,0),(-2,1,0)$ e quindi $dim(U\oplus V)=3$.

Sia al quesito a) che al quesito b) risponderei di si, in quanto una base di dimensione 3 genera $\mathbb{R}^3$ è corretto no?

[jJjjJ1]

Le dimensione di $U$ e $V$ è 2 perciò, poiché sono sottospazi di R^3, essi non possono essere in somma diretta poiché sicuramente la loro intersezione non è nulla, perciò b è falso.

Adesso puoi usare la formula:
$dim(U+V) = dimU + dimV - dim(U \cap V)$
Per calcolarti la dimensione di U+V, se questa è 3 allora $U+V = R^3$

[teopd]

"jJjjJ":Le dimensione di $U$ e $V$ è 2 perciò, poiché sono sottospazi di R^3, essi non possono essere in somma diretta poiché sicuramente la loro intersezione non è nulla, perciò b è falso.

Adesso puoi usare la formula:
$dim(U+V) = dimU + dimV - dim(U \cap V)$
Per calcolarti la dimensione di U+V, se questa è 3 allora $U+V = R^3$

Grazie per la risposta intanto.
Beh è chiaro che non sono in somma diretta perchè la loro intersezione non è nulla (l'avevo già calcolata per risolvere i punti precedenti).
Il mio quesito è che se costruisco un nuovo sottospazio W tale che U e V sono in somma diretta, e tale sottospazio ha dimensione 3, allora è affermativa anche il quesito b) no?