Somma, intersezione e insieme minimale di equazioni cartesiane
Salve ho questo esercizio di cui so solamente i risultati:
Si considerino in $RR^4$ i sottospazi $U$ e $W$ definiti rispettivamente come:
$ U = Span {((1),(3),(-1),(0)), ((1),(0),(-1),(2)),((-1),(6),(2),(-6))} $
e
$W = {(x, y, z, w)^t \in RR^4 | x + y + 2z = x + z = 0}$
Determinare un insieme minimale di equazioni cartesiane per $U$, una base per $U\nnW$ e una per $U+W$.
Io sono partito facendo un'eliminazione di Gauss per trovarmi la dimensione di $U$ e l'insieme minimale di equazioni cartesiane per $U$:
\begin{equation*}
U=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & | & x \\
3 & 0 & 6 & | & y \\
-1 & -1 & 2 & | & z \\
0 & 2 & -6 & | & w
\end{pmatrix}
\end{equation*}
e mi viene:
\begin{equation*}
U=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & | & x \\
0 & -3 & 9 & | & -3x + y\\
0 & 0 & 1 & | & x+z \\
0 & 0 & 0 & | & -6x+2y+3w
\end{pmatrix}
\end{equation*}
E dunque $U = Span(u_1, u_2, u_3) = {(x, y, z) \in RR^4 t.c. -6x+2y+3w = 0}$
E la dimensione di $U$ è $3$. Mi basta infatti contare il numero di pivot della matrice a gradini giusto? Perché infatti io so che le colonne in cui ci sono i pivot corrispondono ai vettori linearmente indipendenti e che la dimensione di un sottospazio vettoriale è data dal numero di vettori che compongono una base. Dove per base si intende un sistema di generatori linearmente indipendenti.
Non capisco però perché alcune volte in classe per calcolare la dimensione di un sottospazio abbiamo fatto:
n° di incognite - rango.
Ma procediamo: a questo punto per calcolare una base di $U\nnW$ ho risolto il sistema lineare omogeneo formato dalle due equazioni di $W$ e dall'equazione di $U$ trovata prima:
\begin{cases}
x+y+2z=0\\
x+z=0\\
6x-2y-3w=0
\end{cases}
e facendo sempre un eliminazione di Gauss mi viene:
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 0 \\
0 & -1 & -1 & 0\\
0 & 0 & -4 & -3
\end{pmatrix}
\end{equation*}
Qui il libro dice subito che la dimensione è 1, ma come fa a dirlo senza calcolare nulla? La cosa che mi viene in mente è che abbia proprio fatto n° di incognite - rango della matrice.
Perché io invece per calcolare la dimensione ho determinato una base risolvendo il sistema lineare e mi è venuto:
$(3, 3,-3, 4)^t$ che è la stessa riportata dal libro che però non capisco perché metta una $t$ $(3, 3,-3, 4)^t$ e che ho visto che ha usato anche per rappresentare $W$. Sapete dirmi che cosa rappresenta? Sfruttando sempre la stessa eliminazione di Gauss determino anche la dimensione di $W$ che è $2$.
Adesso applicando la formula di Grassmann ho che: $U+W = 3+2-1 = 4$ e quindi $U+W = RR^4$ e una sua possibile base è la base canonica di $RR^4$.
Come vedete l'esercizio l'ho svolto, ma ho molti dubbi. So che riuscirete a darmi una mano. Buona serata!
Si considerino in $RR^4$ i sottospazi $U$ e $W$ definiti rispettivamente come:
$ U = Span {((1),(3),(-1),(0)), ((1),(0),(-1),(2)),((-1),(6),(2),(-6))} $
e
$W = {(x, y, z, w)^t \in RR^4 | x + y + 2z = x + z = 0}$
Determinare un insieme minimale di equazioni cartesiane per $U$, una base per $U\nnW$ e una per $U+W$.
Io sono partito facendo un'eliminazione di Gauss per trovarmi la dimensione di $U$ e l'insieme minimale di equazioni cartesiane per $U$:
\begin{equation*}
U=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & | & x \\
3 & 0 & 6 & | & y \\
-1 & -1 & 2 & | & z \\
0 & 2 & -6 & | & w
\end{pmatrix}
\end{equation*}
e mi viene:
\begin{equation*}
U=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & | & x \\
0 & -3 & 9 & | & -3x + y\\
0 & 0 & 1 & | & x+z \\
0 & 0 & 0 & | & -6x+2y+3w
\end{pmatrix}
\end{equation*}
E dunque $U = Span(u_1, u_2, u_3) = {(x, y, z) \in RR^4 t.c. -6x+2y+3w = 0}$
E la dimensione di $U$ è $3$. Mi basta infatti contare il numero di pivot della matrice a gradini giusto? Perché infatti io so che le colonne in cui ci sono i pivot corrispondono ai vettori linearmente indipendenti e che la dimensione di un sottospazio vettoriale è data dal numero di vettori che compongono una base. Dove per base si intende un sistema di generatori linearmente indipendenti.
Non capisco però perché alcune volte in classe per calcolare la dimensione di un sottospazio abbiamo fatto:
n° di incognite - rango.
Ma procediamo: a questo punto per calcolare una base di $U\nnW$ ho risolto il sistema lineare omogeneo formato dalle due equazioni di $W$ e dall'equazione di $U$ trovata prima:
\begin{cases}
x+y+2z=0\\
x+z=0\\
6x-2y-3w=0
\end{cases}
e facendo sempre un eliminazione di Gauss mi viene:
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 0 \\
0 & -1 & -1 & 0\\
0 & 0 & -4 & -3
\end{pmatrix}
\end{equation*}
Qui il libro dice subito che la dimensione è 1, ma come fa a dirlo senza calcolare nulla? La cosa che mi viene in mente è che abbia proprio fatto n° di incognite - rango della matrice.
Perché io invece per calcolare la dimensione ho determinato una base risolvendo il sistema lineare e mi è venuto:
$(3, 3,-3, 4)^t$ che è la stessa riportata dal libro che però non capisco perché metta una $t$ $(3, 3,-3, 4)^t$ e che ho visto che ha usato anche per rappresentare $W$. Sapete dirmi che cosa rappresenta? Sfruttando sempre la stessa eliminazione di Gauss determino anche la dimensione di $W$ che è $2$.
Adesso applicando la formula di Grassmann ho che: $U+W = 3+2-1 = 4$ e quindi $U+W = RR^4$ e una sua possibile base è la base canonica di $RR^4$.
Come vedete l'esercizio l'ho svolto, ma ho molti dubbi. So che riuscirete a darmi una mano. Buona serata!
Risposte
Non preoccuparti, hai fatto tutto benissimo.
La $t$ è uno scalare reale, potevano mettere qualsiasi altra lettera. Sta ad indicare che il sottospazio è dato dalla combinazione del vettore che hai trovato esattamente come $span(v)$. Se indichi solo la base sembra che il sottospazio sia composto da un solo punto e non una retta come è.
La $t$ è uno scalare reale, potevano mettere qualsiasi altra lettera. Sta ad indicare che il sottospazio è dato dalla combinazione del vettore che hai trovato esattamente come $span(v)$. Se indichi solo la base sembra che il sottospazio sia composto da un solo punto e non una retta come è.
Daje sono contento di aver fatto bene, vuol dire che qualcosa inizio a capirla 
. Per quanto riguarda la questione numero di incognite - rango sai dirmi qualcosa? Serve per calcolare qualcosa?
. Per quanto riguarda la questione numero di incognite - rango sai dirmi qualcosa? Serve per calcolare qualcosa?
"SimoneSc":
Per quanto riguarda la questione numero di incognite - rango sai dirmi qualcosa? Serve per calcolare qualcosa?
È solo acqua calda.
Il numero di incognite = numero di componenti dei vettori. Quindi, in questo caso, ti dice che sei in uno spazio vettoriale a 4 dimensioni.
Ogni equazione è un semplice prodotto scalare $ ( a \ \ b \ \ c \ \ d ) ( ( x ),( y ),( z ),( w ) ) =0 $ ovvero cerco il sottospazio i cui vettori sono perpendicolari ad (a,b,c,d): niente di più, niente di meno.
Visto che ci sono 3 equazioni/vincoli, stiamo quindi cercando un sottospazio che sia perpendicolare ad un sottospazio a tre dimensioni (infatti ottieni la medesima soluzione anche facendo il prodotto vettoriale dei 3 vettori).
Quindi riassumendo 4-3=1...la dimensione dello spazio cercato.
Ma come hai fatto notare, questo è vero solo se nessuna equazione è combinazione lineare delle altre.
In realtà il rango del sistema omogeneo si vede anche ad occhio nudo, per cui immagino che gli autori non abbiano dato molto peso al fatto che un lettore potesse restarne scioccato
Tu continua ad usare Gauss-Jordan e fregatene di queste cacchiate.
Ah ok ho capito, grazie mille. Ho un'ulteriore domanda: ci sono altri modi (magari più veloci per calcolare una base di $U\nnV$? Perché io solitamente la trovo mediante la definizione possiamo dire. Infatti so che un vettore che chiameremo $w$ per appartenere al sottospazio intersezione $U\nnV$ deve poter essere scritto come combinazione lineare dei vettori della base $U$ $w = α_1u_1 + α_2u_2$ poiché $w ∈ U$, ma deve poter essere scritto anche come combinazione lineare dei vettori della base $V$ $w = β_1v_1 + β_2v_2$ poiché $w ∈ V$.E così facendo ottengo l'uguaglianza: $α_1u_1 + α_2u_2 = β_1v_1 + β_2v_2$ dalla quale poi mi ricavo il sistema.
Ma davvero hai fatto ciò?
Hai scritto persino la matrice triangolare superiore ottenuta con Gauss...e non hai completato la soluzione del sistema omogeneo?
Devi semplicemente trovare il kernel. Quella è la soluzione e il metodo più breve.
Gauss ti dice tutto sul rango e ti dà pure la soluzione in una botta sola.
Hai scritto persino la matrice triangolare superiore ottenuta con Gauss...e non hai completato la soluzione del sistema omogeneo?
Devi semplicemente trovare il kernel. Quella è la soluzione e il metodo più breve.
Gauss ti dice tutto sul rango e ti dà pure la soluzione in una botta sola.
No aspetta, in questo esercizio in particolare ho fatto proprio come dici tu, ma perché la consegna mi aveva dato il sottospazio vettoriale $W$ scritto sotto forma di equazioni cartesiane e poi perché mi aveva obbligato a calcolarmi un insieme minimale di equazioni per $U$. E quindi trovandomele già pronte mi è venuto più semplice fare così. Però in generale se posso evito perché nell'eliminazione di Gauss non sempre mi ricordo di far variare le incognite quando faccio operazioni elementari sulle righe. Però se mi dici che Gauss è il più veloce farò un bel po' di esercizi per acquisire sempre più dimestichezza.
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