Somma e intersezione di spazi vettoriali
Salve a tutti. ho un problema!
1. Siano v1 = (1, 2, 0), v2 = (0, 2, 1), w1 = (0, 0, 1), w2 = (−1, 0, 1), V = e W = .
(a) Determinare dim(V ) e dim(W).
(b) Calcolare V +W.
(c) Trovare una base di V ∩ W (intersezione).
Come si risolve? Il mio problema riguarda soprattutto la somma e l'intersezione di spazi vettoriali. c'è un ragionamento/regola da seguire che valga ogni volta che si deve trovare la somma e l'intersezione tra spazi vettoriali?
Riporto un altro esercizio in cui sinceramente non so proprio da dove iniziare:
2. Sia U⊆R3 il sottospazio definito dalla seguente relazione:
U=( x , y , z)∈R3: x+y+z=0
a) Determinare un sottospazio V⊆R3 tale che
U+V=R3 e U∩V ={(0,0 ,0)} .
b) Determinare un'applicazione lineare L con Nucleo uguale a U e Immagine
uguale a V.
c) Determinare gli autovalori e gli autovettori di L.
d) Stabilire se L è diagonalizzabile.
GRAZIE
1. Siano v1 = (1, 2, 0), v2 = (0, 2, 1), w1 = (0, 0, 1), w2 = (−1, 0, 1), V =
(a) Determinare dim(V ) e dim(W).
(b) Calcolare V +W.
(c) Trovare una base di V ∩ W (intersezione).
Come si risolve? Il mio problema riguarda soprattutto la somma e l'intersezione di spazi vettoriali. c'è un ragionamento/regola da seguire che valga ogni volta che si deve trovare la somma e l'intersezione tra spazi vettoriali?
Riporto un altro esercizio in cui sinceramente non so proprio da dove iniziare:
2. Sia U⊆R3 il sottospazio definito dalla seguente relazione:
U=( x , y , z)∈R3: x+y+z=0
a) Determinare un sottospazio V⊆R3 tale che
U+V=R3 e U∩V ={(0,0 ,0)} .
b) Determinare un'applicazione lineare L con Nucleo uguale a U e Immagine
uguale a V.
c) Determinare gli autovalori e gli autovettori di L.
d) Stabilire se L è diagonalizzabile.
GRAZIE
Risposte
Esercizio 1.
(a)
$dimV=2$ perchè $v_1$ e $v_2$ sono linearmente indipendenti.
$dimW=2$ perchè $w_1$ e $w_2$ sono linearmente indipendenti.
(b)
Osserva che in $RR^3$ ci possono essere al più 3 vettori linearmente indipendenti quindi $dim(V+W)=2$ oppure $dim(V+W)=3$ ma questo lo puoi vedere per il fatto che la matrice:
$M=(v_1,v_2,w_1,w_2)$ ha rango $3$ quindi $dim(V+W)=3$
$V+W=$$$
(c)
Preliminarmente osserviamo che vale la formula:
$dim(V+W)=dimV+dimW-dim(VnnW)$
quindi ciò che cerchiamo è un vettore che genera il sottospazio $VnnW$ poichè ha dimensione $1$. Detto vettore è $w_2$ poichè
$w_2 in V rightarrow w_2=v_2-v_1$
$w_2 in W$ ovviamente
da cercarsi qui il vettore che può essere espresso come combinazione lineare degli elementi di entrambi i sottospazi.
(a)
$dimV=2$ perchè $v_1$ e $v_2$ sono linearmente indipendenti.
$dimW=2$ perchè $w_1$ e $w_2$ sono linearmente indipendenti.
(b)
Osserva che in $RR^3$ ci possono essere al più 3 vettori linearmente indipendenti quindi $dim(V+W)=2$ oppure $dim(V+W)=3$ ma questo lo puoi vedere per il fatto che la matrice:
$M=(v_1,v_2,w_1,w_2)$ ha rango $3$ quindi $dim(V+W)=3$
$V+W=$$
(c)
Preliminarmente osserviamo che vale la formula:
$dim(V+W)=dimV+dimW-dim(VnnW)$
quindi ciò che cerchiamo è un vettore che genera il sottospazio $VnnW$ poichè ha dimensione $1$. Detto vettore è $w_2$ poichè
$w_2 in V rightarrow w_2=v_2-v_1$
$w_2 in W$ ovviamente
da cercarsi qui il vettore che può essere espresso come combinazione lineare degli elementi di entrambi i sottospazi.
Esercizio 2.
(a) $U={x,y,z in RR^3: x+y+z=0}$
Dapprima calcoliamo i vettori che lo generano:
${(x=t),(y=s),(z=-x-y=-t-s):}$
da cui:
$U = t(1,0,-1)+s(0,1,-1)$
$U=$$<(1,0,-1),(0,1,-1)>$ ed anche $dimU=2$
allora seguendo la formula dell'esercizio precedente:
$dim(U+V)=dimU+dimV - dim(VnnU)$
Devo trovare $V$ tale che $dimV=1$ ma in questo caso mi è sufficiente completare la base di $U$ ad una base di $RR^3$ prendendo, per esempio $w=(0,0,1)$ e quindi $V=$$$.
(b)
Se conosci lo spazio duale la risposta è banalmente $w^d$ ovvero l'applicazione tale che:
$w^d(w)=1$
$w_d(lambda w)=lambda$
zero altrimenti.
Ultimo punto appena torno
(a) $U={x,y,z in RR^3: x+y+z=0}$
Dapprima calcoliamo i vettori che lo generano:
${(x=t),(y=s),(z=-x-y=-t-s):}$
da cui:
$U = t(1,0,-1)+s(0,1,-1)$
$U=$$<(1,0,-1),(0,1,-1)>$ ed anche $dimU=2$
allora seguendo la formula dell'esercizio precedente:
$dim(U+V)=dimU+dimV - dim(VnnU)$
Devo trovare $V$ tale che $dimV=1$ ma in questo caso mi è sufficiente completare la base di $U$ ad una base di $RR^3$ prendendo, per esempio $w=(0,0,1)$ e quindi $V=$$
(b)
Se conosci lo spazio duale la risposta è banalmente $w^d$ ovvero l'applicazione tale che:
$w^d(w)=1$
$w_d(lambda w)=lambda$
zero altrimenti.
Ultimo punto appena torno
"Lord K":
Esercizio 1.
(c)
Preliminarmente osserviamo che vale la formula:
$dim(V+W)=dimV+dimW-dim(VnnW)$
quindi ciò che cerchiamo è un vettore che genera il sottospazio $VnnW$ poichè ha dimensione $1$. Detto vettore è $w_2$ poichè
$w_2 in V rightarrow w_2=v_2-v_1$
$w_2 in W$ ovviamente
da cercarsi qui il vettore che può essere espresso come combinazione lineare degli elementi di entrambi i sottospazi.
nell'ultima frase dici cosa si dovrebbe fare per risolvere un esercizio di questo tipo giusto? cioè, la posso prendere come "regola" o vale solo in questo caso?
un'altra cosa: il vettore che deve avere la caratteristica richiesta poteva anche non essere nessuno dei 4 tra v1,v2,w1 e w2? se SI, con che criterio vado a cercarlo?
"Lord K":
Esercizio 2.
(a) $U={x,y,z in RR^3: x+y+z=0}$
Dapprima calcoliamo i vettori che lo generano:
${(x=t),(y=s),(z=-x-y=-t-s):}$
da cui:
$U = t(1,0,-1)+s(0,1,-1)$
$U=$$<(1,0,-1),(0,1,-1)>$ ed anche $dimU=2$
allora seguendo la formula dell'esercizio precedente:
$dim(U+V)=dimU+dimV - dim(VnnU)$
Devo trovare $V$ tale che $dimV=1$ ma in questo caso mi è sufficiente completare la base di $U$ ad una base di $RR^3$ prendendo, per esempio $w=(0,0,1)$ e quindi $V=$$$.
(b)
Se conosci lo spazio duale la risposta è banalmente $w^d$ ovvero l'applicazione tale che:
$w^d(w)=1$
$w_d(lambda w)=lambda$
zero altrimenti.
parte a)dimmi se sbaglio: per trovare i vettori che generano U hai posto prima t=1 e s=0 e poi t=0 e s=1 e hai calcolato la z, giusto? dim(U)=2 perchè 2 sono le variabili importanti (t e s), la terza (z) la ricavi dalle altre. se ci fossero state 3 variabili importanti e 1 che si ricavava da esse, ovviamente non in R3 ma R4, la dim(U) sarebbe stata 3?
ancora: dim(v) deve essere =1 perchè $dim(VnnU)$ è 0 dato che $VnnU$ è formato da un vettore nullo?
il vettore $w=(0,0,1)$ lo hai trovato sapendo che doveva essere un vettore linearmente indipendente ai vettori $<(1,0,-1),(0,1,-1)>$? hai fatto qualche calcolo per trovarlo?
parte b) cos'è lo spazio duale? nel programma che ho da studiare non c'è. si può risolvere in 1 altro modo?
scusa se magari sto facendo domande che possono sembrare "stupide" ai + esperti, ma se non capisco + che posso non riesco a ricordare/applicare.
Grazie 1000 per le risposte.
No dai ragazzi!!!! Non abbandonatemi proprio sul + bello!!! Vi prego!!!!!'[-o<'
"kind85":
nell'ultima frase dici cosa si dovrebbe fare per risolvere un esercizio di questo tipo giusto? cioè, la posso prendere come "regola" o vale solo in questo caso?
un'altra cosa: il vettore che deve avere la caratteristica richiesta poteva anche non essere nessuno dei 4 tra v1,v2,w1 e w2? se SI, con che criterio vado a cercarlo?
sono fermo in un esercizio simile!
è il quarto di questo pdf
allora io penso di averlo risolto così!
dalla regola generale che lega la dimensione della somma dei sottospazi, con la dimensione dei singoli sottospazi meno quella dell'intersezione, ho proceduto a calcolarmi dim W1 e dim W2 con un matrice 2x3 dei rispettivi vettori!
dopo ho calcolato dim W1+W2 fa cendo una matrice 4x3 con tutti e 4 i vettori, e vedendo che un minore di ordine 3 ha det!=0 ho assunto che la dim W1+W2 = 3
semplicemente dim (W1 intersecato W2) = dim W1 + dim W2 - dim (W1+W2)
speriamo sia giusto!
"kind85":
nell'ultima frase dici cosa si dovrebbe fare per risolvere un esercizio di questo tipo giusto? cioè, la posso prendere come "regola" o vale solo in questo caso?
un'altra cosa: il vettore che deve avere la caratteristica richiesta poteva anche non essere nessuno dei 4 tra v1,v2,w1 e w2? se SI, con che criterio vado a cercarlo?
Sorry per il ritardo di risposta ma ero in ferie e sono tornato solo oggi!
Ho cercato di seguire le tue richieste e quindi ho detto come si dovrebbe risolvere l'esercizio. Il vettore che sta nell'inresezione deve essere esprimibile come combinazione lineare sia dei vettori del primo insieme sia di quelli del secondo, poteva essere anche un altro vettore, il criterio da usare è un poco di naso e un minimo di osservazione, anche perchè essendo in $RR^3$ sicuramente un vettore è espimibile come combinazione degli altri tre, allora supponiamo che:
$w_2 = lambda_1*v_1+lambda_2*v_2+mu_1*w_1$
allora il vettore che di certo sta nell'intersezione è:
$omega_0= w_2 - mu_1*w_1= lambda_1*v_1+lambda_2*v_2$
parte a)dimmi se sbaglio: per trovare i vettori che generano U hai posto prima t=1 e s=0 e poi t=0 e s=1 e hai calcolato la z, giusto? dim(U)=2 perchè 2 sono le variabili importanti (t e s), la terza (z) la ricavi dalle altre. se ci fossero state 3 variabili importanti e 1 che si ricavava da esse, ovviamente non in R3 ma R4, la dim(U) sarebbe stata 3?
Diciamo che sei molto vicino, ma non è esattamente così. Io mi concentro sui vettori e non sui coefficienti $t,s$ e quindi sopra vedi che posso trovare due vettori linearmente indipendenti e quindi la dimensione è due. Diciamo che la dimensione sono il numero massimo di vettori linearmente indipendenti che puoi trovare nel dato spazio.
ancora: dim(v) deve essere =1 perchè $dim(VnnU)$ è 0 dato che $VnnU$ è formato da un vettore nullo?
Esatto
il vettore $w=(0,0,1)$ lo hai trovato sapendo che doveva essere un vettore linearmente indipendente ai vettori $<(1,0,-1),(0,1,-1)>$? hai fatto qualche calcolo per trovarlo?
Nessun conto, ma solo un buon naso, osserva che non si può ricavare come combinazione degli altri due. Nei casi generali è sembre bene, per non complicarsi troppo la vita, tentare prima con i vettori della base canonica. Se sceglievo $(1,0,0,0)$ andava bene comunque.
parte b) cos'è lo spazio duale? nel programma che ho da studiare non c'è. si può risolvere in 1 altro modo?
Lo spazio duale è lo spazio ove gli elementi sono gli endomorfismi (funzioni lineari) e tali che dato un vettore $nu$ il passaggio al duale fa in modo che la funzione lineare che corrisponde $nu^d$ è tale che $nu^d(nu)=1$ e zero altrimenti. Diciamo che è una definizione.
Per ovviare a questo considera la funzione lineare:
$f:RR^3 rightarrow RR$
$f(x,y,z) = ax+by+cz$
e determino $a,b,c in RR$ tale che valga:
$f(x,y,z) = 1$ se $(x,y,z)=(0,0,1)$ e zero altrimenti. Se fai due conti ottieni: $c=1$, $a=1$, $b=-(x+z)/y$ se $y!=0$ oppure $c=1$, $a=-(y+z)/x$, $b=1$ se $x!=0$.
scusa se magari sto facendo domande che possono sembrare "stupide" ai + esperti, ma se non capisco + che posso non riesco a ricordare/applicare.
Grazie 1000 per le risposte.
Nessuna scusa necessaria, se leggi la mia firma capisci
Enjoy
parte b) cos'è lo spazio duale? nel programma che ho da studiare non c'è. si può risolvere in 1 altro modo?
"Lord K":
Lo spazio duale è lo spazio ove gli elementi sono gli endomorfismi (funzioni lineari) e tali che dato un vettore $nu$ il passaggio al duale fa in modo che la funzione lineare che corrisponde $nu^d$ è tale che $nu^d(nu)=1$ e zero altrimenti. Diciamo che è una definizione.
Per ovviare a questo considera la funzione lineare:
$f:RR^3 rightarrow RR$
$f(x,y,z) = ax+by+cz$
e determino $a,b,c in RR$ tale che valga:
$f(x,y,z) = 1$ se $(x,y,z)=(0,0,1)$ e zero altrimenti. Se fai due conti ottieni: $c=1$, $a=1$, $b=-(x+z)/y$ se $y!=0$ oppure $c=1$, $a=-(y+z)/x$, $b=1$ se $x!=0$.
e quindi questa sarebbe la soluzione del punto b) del secondo esercizio?
Direi di sì
"Brunosso":
[quote="kind85"]
nell'ultima frase dici cosa si dovrebbe fare per risolvere un esercizio di questo tipo giusto? cioè, la posso prendere come "regola" o vale solo in questo caso?
un'altra cosa: il vettore che deve avere la caratteristica richiesta poteva anche non essere nessuno dei 4 tra v1,v2,w1 e w2? se SI, con che criterio vado a cercarlo?
sono fermo in un esercizio simile!
è il quarto di questo pdf
allora io penso di averlo risolto così!
dalla regola generale che lega la dimensione della somma dei sottospazi, con la dimensione dei singoli sottospazi meno quella dell'intersezione, ho proceduto a calcolarmi dim W1 e dim W2 con un matrice 2x3 dei rispettivi vettori!
dopo ho calcolato dim W1+W2 fa cendo una matrice 4x3 con tutti e 4 i vettori, e vedendo che un minore di ordine 3 ha det!=0 ho assunto che la dim W1+W2 = 3
semplicemente dim (W1 intersecato W2) = dim W1 + dim W2 - dim (W1+W2)
speriamo sia giusto![/quote]
Pare sia corretto!
"Lord K":
Direi di sì
mi potresti dire anche a parole la logica che hai seguito? per chè deve essere $f(x,y,x)=1 $ se $(x,y,z)=(0,0,1) $ e $0$ altrimenti? e perchè la funzione va da $RR^3$ in $RR$?
La funzione va da $RR^3$ in $RR$ perchè è il caso più semplice da seguire. Se fosse verso $RR^n$ sarebbe una composizione di questi endomorfismi più semplici.
Devo trovare una funzione lineare che abbia come immagine lo spazio generato da quel vettore, dunque imporre che sia $1$ sul vettore che genera e $0$ altrimenti è il modo (anche qui) più semplice per procedere.
Devo trovare una funzione lineare che abbia come immagine lo spazio generato da quel vettore, dunque imporre che sia $1$ sul vettore che genera e $0$ altrimenti è il modo (anche qui) più semplice per procedere.
e la sua matrice associata qual'è? mi serve per calcolare glia autovalori e autovettori e dire se è diagonalizzabile (punti c) e d))
Ciao a tutti!
Ho letto gli esercizi e le soluzioni che avete scritto e devo dire che sono abbastanza esaurienti!
La mia domanda, però, è: Se ho due sottospazi V e W, per trovare lo spazio intersezione è valido come metodo, in qualsiasi situazione, mettere a sistema le eq. cartesiane di V e di W e risolvere(ovviamente)?
Altrimenti non c'è una regola(precisa) da usare in qualsiasi caso?
Grazie.
(p.s.: sono davvero interessanti le due frasi, Lord K!)
Ho letto gli esercizi e le soluzioni che avete scritto e devo dire che sono abbastanza esaurienti!
La mia domanda, però, è: Se ho due sottospazi V e W, per trovare lo spazio intersezione è valido come metodo, in qualsiasi situazione, mettere a sistema le eq. cartesiane di V e di W e risolvere(ovviamente)?
Altrimenti non c'è una regola(precisa) da usare in qualsiasi caso?
Grazie.
(p.s.: sono davvero interessanti le due frasi, Lord K!)
"kind85":
e la sua matrice associata qual'è? mi serve per calcolare glia autovalori e autovettori e dire se è diagonalizzabile (punti c) e d))
...dammi un poco di tempo!
"pavola":
Ciao a tutti!
Ho letto gli esercizi e le soluzioni che avete scritto e devo dire che sono abbastanza esaurienti!
La mia domanda, però, è: Se ho due sottospazi V e W, per trovare lo spazio intersezione è valido come metodo, in qualsiasi situazione, mettere a sistema le eq. cartesiane di V e di W e risolvere(ovviamente)?
Altrimenti non c'è una regola(precisa) da usare in qualsiasi caso?
Grazie.
(p.s.: sono davvero interessanti le due frasi, Lord K!)
Sì puoi farlo!
E per le eq. cartesiane di V∩W considero quelle che ho messo nel sistema oppure come posso fare?
io penso di si!
Ritornando all'intersezione dell'esercizio 1:
Ma se fosse la combinazione lineare degli elementi di entrambi (cioe' dei generatori), potrebbe succedere che i coefficienti per un intero insieme di generatori siano nulli, generando solo i vettori dell'altro spazio, no?
Un esercizio mi chiedeva di trovare lo spazio generato e una base dall'intersezione di questi
$U=<(1,0, 0),(2, 1,0)>$ e $W=<(0,2,1),(0,0,3)>$
Io ho provato a risolverlo cosi:
un vettore di U deve avere questa forma: $(x,y, z) = \alpha(1, 0,0) + \beta(2,1,0)$. Facendo il sistema e risolvendo trovo che $\alpha = x-2y$ e $\beta = y$. Anche se era gia' evidente, si nota che $(x, y,z)$ hanno sempre z = 0.
Allo stesso modo ho trovato un vettore di W, che risulta avere $x=0$ sempre.
A questo punto mi son detto: l'intersezione deve rispettare entrambe le forme, quindi
$(x, y, 0) = (0, y, z)$ e quindi il vettore nell'intersezione (cioe' tutti i vettori generati dall'intersezione) e' simile a $(0,y,0)$. Una base e' quindi $(0,1,0)$.
"Lord K":
da cercarsi qui il vettore che può essere espresso come combinazione lineare degli elementi di entrambi i sottospazi.
Ma se fosse la combinazione lineare degli elementi di entrambi (cioe' dei generatori), potrebbe succedere che i coefficienti per un intero insieme di generatori siano nulli, generando solo i vettori dell'altro spazio, no?
Un esercizio mi chiedeva di trovare lo spazio generato e una base dall'intersezione di questi
$U=<(1,0, 0),(2, 1,0)>$ e $W=<(0,2,1),(0,0,3)>$
Io ho provato a risolverlo cosi:
un vettore di U deve avere questa forma: $(x,y, z) = \alpha(1, 0,0) + \beta(2,1,0)$. Facendo il sistema e risolvendo trovo che $\alpha = x-2y$ e $\beta = y$. Anche se era gia' evidente, si nota che $(x, y,z)$ hanno sempre z = 0.
Allo stesso modo ho trovato un vettore di W, che risulta avere $x=0$ sempre.
A questo punto mi son detto: l'intersezione deve rispettare entrambe le forme, quindi
$(x, y, 0) = (0, y, z)$ e quindi il vettore nell'intersezione (cioe' tutti i vettori generati dall'intersezione) e' simile a $(0,y,0)$. Una base e' quindi $(0,1,0)$.
ritiro fuori questo post per evitare di aprirne un altro:
Come faccio, in generale, a mostrare che due sottospazi vettoriali hanno intersezione vuota??
-------------------
Nella fattispecie, il mio esercizio è:
Ho uno spazio vettoriale V di dim=4, con Base= (v1,v2,v3,v4).
Dopo la prima parte di esercizio (che riesco a fare) ottengo che il sottospazio vettoriale U, di dim=2, con base=(u1,u2)
u1=(v1,v2,-v3,-v4) u2=(v1,-v2,v3)
L'esercizio ora mi chiede: determinare un sottospazio vettoriale W tale che V sia somma-diretta di U e W.
Che devo pensare?.. Che posso fare?..
ps: io ho provato a fare così.. nella prima parte dell'esercizio mi si davano 3 vettori di U e mi si chiedeva di esibire una base.
con gauss-jordan ottengo che una base è formata solo da u1 e u2.
Poi l'esercizio mi chiede di "completare" la base di U in una base di V.. che ho fatto?
Ho fatto lo span dei due vettori di U (u1 e u2) aggiungendo anche la base canonica di V (ovvero (1,0,0,0) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1)) e ho
sempre ridotto con Gauss-jordan ottenendo la base "completa" u1,u2,v1,v2.
Poi ho pensato, per risolvere il punto che vi chiedo, che nella risoluzione di questa matrice ottengo 4 vettori di V, due dei quali utilizzo per "completare"
la base di U rispetto allo spazio vettoriale V.. posso prendere quei due vettori per farne una base di W ???
E, nel caso fosse giusto, è finito così l'esercizio??.. c'è un altro modo per farlo??
Come faccio, in generale, a mostrare che due sottospazi vettoriali hanno intersezione vuota??
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Nella fattispecie, il mio esercizio è:
Ho uno spazio vettoriale V di dim=4, con Base= (v1,v2,v3,v4).
Dopo la prima parte di esercizio (che riesco a fare) ottengo che il sottospazio vettoriale U, di dim=2, con base=(u1,u2)
u1=(v1,v2,-v3,-v4) u2=(v1,-v2,v3)
L'esercizio ora mi chiede: determinare un sottospazio vettoriale W tale che V sia somma-diretta di U e W.
Che devo pensare?.. Che posso fare?..
ps: io ho provato a fare così.. nella prima parte dell'esercizio mi si davano 3 vettori di U e mi si chiedeva di esibire una base.
con gauss-jordan ottengo che una base è formata solo da u1 e u2.
Poi l'esercizio mi chiede di "completare" la base di U in una base di V.. che ho fatto?
Ho fatto lo span dei due vettori di U (u1 e u2) aggiungendo anche la base canonica di V (ovvero (1,0,0,0) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1)) e ho
sempre ridotto con Gauss-jordan ottenendo la base "completa" u1,u2,v1,v2.
Poi ho pensato, per risolvere il punto che vi chiedo, che nella risoluzione di questa matrice ottengo 4 vettori di V, due dei quali utilizzo per "completare"
la base di U rispetto allo spazio vettoriale V.. posso prendere quei due vettori per farne una base di W ???
E, nel caso fosse giusto, è finito così l'esercizio??.. c'è un altro modo per farlo??
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