Somma e intersezione di sottospazi

[ThePA]

Buongiorno a tutti.
Mi sono appena iscritto al forum per dei problemi che sto avendo con un esercizio di discreta..
Premetto che ho già cercato nel forum qualcosa che mi aiutasse ma non ho capito moltissimo dalle altre soluzioni..
Il testo del problema è questo:
Dati i due sottospazi di $ RR^4 $

$ U = { (x1, x2, x3, x4 ) in RR ^4 : x1+x2+x3+x4=0 } $
$ V = { (x1, x2, x3, x4 ) in RR ^4 : x2+x3+x4=0 } $

trovare:

1. $ Dim U $
2. $ Dim V $
3. $ Dim (U nn V) $
4. $ Dim (U + V) $
5. verificare che vale la relazione di Grassmann

Diciamo che per i primi due punti ci sono (mi risulta abbiamo entrambi dimensione 3, correggetemi se sbaglio ), ma terzo e quarto mi creano un sacco di problemi.
Per la dimensione dell'intersezione se non sbaglio vanno messe a sistema le due equazioni, dalle quali mi risulta:

$ { ( x1 = 0 ),( x2 = -x3-x4 ):} $

Ma qui mi blocco, come faccio a capire la dimensione a questo punto?

Per la parte della somma diciamo che ho capito, ma se ho dubbi posterò più avanti.

Grazie infinite a chiunque voglia aiutarmi.

[Lorin1]

Si per studiare $U nn V$ basta mettere a sistema le equazioni. Fatto questo per capire la dimensione basta scrivere il generico vettore soluzione del sistema, che è del tipo ${(0,-x_3-x_4,x_3,x_4) : x_3,x_4 in RR}$,dato che hai due parametri liberi allora la dimensione sarà 2. E' lo stesso ragionamento che ti ha portato a capire qual è la dimensione dei singoli sottospazi.

[ThePA]

Ottimo! Più chiaro di così..

Avrei un altro quesito, che è più che altro una curiosità.
Se non sbaglio la dimensione della somma è uguale al rango della matrice creata affiancando le basi, e a me viene una cosa così:

$ B = ( ( -1 , -1 , -1 , 1 , 0, 0 ),( 1 , 0 , 0 , 0 , -1, -1 ),( 0 , 1 , 0 , 0 , 1, 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 , 0, 1 ) ) $

Ora, in teoria, il rango è alpiù uguale a 4, giusto?

E equivale all'ordine più grande del minore con determinante non nullo.

La mia curiosità è, per calcolare il rango c'è un metodo più veloce di andare per tentativi con i vari minori?

Grazie per l'aiuto.

[Lorin1]

In realtà per calcolare $dim(U+V)$ puoi utilizzare la formula di Grassmann, cioè $dim(U+v)=dimU+dimV-dim(U nn V)$

Per quanto riguarda il calcolo del rango della matrice, io di solito ragiono dall'esterno all'interno, cioè parto sempre dal minore più grande che posso avere e poi scendo man mano. Veri e propri trucchi non ce ne sono.