Somma e intersezione di sottospazi

[Cantor99]

Salve, vi chiedo se il ragionamento che seguo è giusto per trovare le basi di somma e intersezione di sottospazi. Per farlo vi propongo un esercizio

"Siano $U$ il sottospazio di $RR^4$ generato da $u_1=(0,1,0,1)$,$u_2=(0,1,1,0)$ e $W={(x,y,x+z,x+y+z)| x,y,z inRR$
(i) Determinare una base di $UnnW$
(ii) Determinare una base di $U+W$"

Ho proceduto in tal modo:

1) Verifico che il sistema $S={u_1,u_2}$ sia liberamente indipendente. Per farlo ad esempio calcolo il rango della matrice
$A=((0,1,0,1),(0,1,1,0))$
e verifico che è 2.
Per cui $dim(U)=2$.

2) Riscrivo $W={x((1),(0),(1),(1))+y((0),(1),(0),(1))+z((0),(0),(1),(1))|x,y,z inRR}$ cioè $W$ è generato da $T={((1),(0),(1),(1)),((0),(1),(0),(1)),((0),(0),(1),(1))}$
Verifico che sono linearmente indipendenti come prima (e lo sono) e $dim(W)=3$

3) Ora ho ragionato su $S$ e $T$. So che se $SuuT$ è linearmente indipendente allora $nn[T]={0}$ (con $[]$ intendo il sottospazio generato da un sottoinsieme di uno spazio vettoriale)
$SuuT$ non è linearmente indipendente perché $0!=u_1inSnnT$.
Ho verificato che $Tuu(S-{u_1})$ è linearmente indipendente per cui $U+W=[Tuu(S-{u_1})]$ e $dim(UnnW)=1$ e $dim(U+W)=4$
Tutti i risultati sono in accordo con la formula di Grassmann

4) una base di $U+W$ è $Tuu(S-{u_1})$, mentre la base di $UnnW$ è ${u_1}$

Il mio dubbio principale è trovare il sottospazio $UnnW$: in questo caso era evidente che non fosse il solo insieme ${0}$. In generale avrei dovuto risolvere un sistema?
Inoltre per quanto riguarda la base $U+W$ è tutto corretto?

[Cantor99]

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