Somma diretta esercizio
Sia $R^(2)$ uno spaio vettoriale e siano $ a$ e $b $ due vettori di tale spazio non nulli.
Dimostrare che, se non esiste un numero $ c$ tale che $ ca=b$, allora $a$ e $b$ sono una base di $ R^(2) $ e che $ R^(2) $ è somma diretta dei sottospazi generati da questi due vettori
Allora, io dall'ipotesi deduco subito che i due vettori sono linearmente indipendenti (ma come faccio a dimostrare che generno tutti gli altri vettori di $ R ^(2) $? E deduco anche che l'intersezione tra i sottospazi da essi generati è $ {O} $, ma come faccio a dedurre che ogni vettore di $ R^(2) $ è dato dalla somma di due vettori di questi sottospazi opportunamente scalati?
Dimostrare che, se non esiste un numero $ c$ tale che $ ca=b$, allora $a$ e $b$ sono una base di $ R^(2) $ e che $ R^(2) $ è somma diretta dei sottospazi generati da questi due vettori
Allora, io dall'ipotesi deduco subito che i due vettori sono linearmente indipendenti (ma come faccio a dimostrare che generno tutti gli altri vettori di $ R ^(2) $? E deduco anche che l'intersezione tra i sottospazi da essi generati è $ {O} $, ma come faccio a dedurre che ogni vettore di $ R^(2) $ è dato dalla somma di due vettori di questi sottospazi opportunamente scalati?
Risposte
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"Lavinia Volpe":
non ho neanche capito se la definizione di somma diretta è
r = w+u
oppure
kr= xw + yu, con k,x,y numeri
Due cose: la prima scrivi coi compilatori di formule, anche perchè hai già scritto 200 e passa messaggi. Secondo, guarda qui per le definizioni.
L'osservazione è giusta: se uno non è un multiplo dell'altro allora puoi dire che sono linearmente indipendenti. Ma, come sai, in $RR^2$ due vettori lin. indipendenti formano una base. Pertanto sicuramente $langle veca rangle + langle vecb rangle=RR^2$.
Si tratta di mostrare che la somma è diretta, per cui ti resta da mostrare che l'intersezione è il vettore nullo. Provaci, non è difficile.
ma è ovvio che l'intersezione è nulla
io non ho ancora visto il link sull'intersezione che mi hai postato
io ho ragionato che presi due elementi qualsiasi dei sottospazi A e B, cioè $xa $ e $yb$, ho che $ x/(y) a=b $, ma $x/(Y)=c$ e un tale $c$ abbiamo detto che non esiste per ipotesi
io non ho ancora visto il link sull'intersezione che mi hai postato
io ho ragionato che presi due elementi qualsiasi dei sottospazi A e B, cioè $xa $ e $yb$, ho che $ x/(y) a=b $, ma $x/(Y)=c$ e un tale $c$ abbiamo detto che non esiste per ipotesi
non ho capito neanche come sia immediato, una volta dimostrato che a e b sono una base di $R^(2)$ e che l'intersezione dei sottospazi da essi generati è ${O}$, che $R^(2)$ sia somma diretta dei sottospazi. Ma se vuoi mi rivedo prima meglio il tutto e ciò che mi hai postato nell'altra domanda
Non è che è immediato: è proprio la definizione di somma diretta. Rileggiti tutto con calma e riguradati la teoria. Vedrai che ti sarà chiaro 
sì questo mi è chiaro, credo, grazie.
Però non capisco una cosa.
Allora, ho capito questo teorema e la sua dimostrazione
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita sul corpo K. Sia W un suo sottospazio. Esiste allora in V un sottospazio U tale che V sia somma diretta di W e U.
Dim: Scegliamo una base di W ed estendiamola a una base di V col teorema 7 (teorema 7: sia V uno spazio vettoriale di dimensione n e siano v1...vn elementi di V linearmente indipendenti. E' possibile allora trovare in V degli elementi v(r+1),...,vr in modo che che {v1,...,vn} sia una base di V). L'affermazione del teorema è allora evidente. Con la notazione del teorema 7, se {v1, ..., vr} è una base di W, basta indicare con U lo spazio generato dai vettori v(r+1),...,vn.
Però non ho capito questo:
Per ogni sottospazio W esistono molti sottospazi U tali che V sia somma diretta di W e U.
Sebbene mi sia chiaro che se lo spazio vettoriale è $ R^(2 )$, presi qualsiasi due vettori linearmente indipendenti, essi in combinazione lineare possono generare tutto lo spazio vettoriale $R^(2)$, quindi ne costituiscono una base, e, se la loro intersezione è costituita dal solo ${O}$ (a proposito, il fatto che sono linearmente indip non c'entra con l'intersezione data dal solo vettore zero, vero?), allora $R^(2)$ è costituito da elementi che si possono ottenere sommando un elemento del sottospazio generato da uno e un elemento del sottospazio generato dall'altro.
Però non capisco una cosa.
Allora, ho capito questo teorema e la sua dimostrazione
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita sul corpo K. Sia W un suo sottospazio. Esiste allora in V un sottospazio U tale che V sia somma diretta di W e U.
Dim: Scegliamo una base di W ed estendiamola a una base di V col teorema 7 (teorema 7: sia V uno spazio vettoriale di dimensione n e siano v1...vn elementi di V linearmente indipendenti. E' possibile allora trovare in V degli elementi v(r+1),...,vr in modo che che {v1,...,vn} sia una base di V). L'affermazione del teorema è allora evidente. Con la notazione del teorema 7, se {v1, ..., vr} è una base di W, basta indicare con U lo spazio generato dai vettori v(r+1),...,vn.
Però non ho capito questo:
Per ogni sottospazio W esistono molti sottospazi U tali che V sia somma diretta di W e U.
Sebbene mi sia chiaro che se lo spazio vettoriale è $ R^(2 )$, presi qualsiasi due vettori linearmente indipendenti, essi in combinazione lineare possono generare tutto lo spazio vettoriale $R^(2)$, quindi ne costituiscono una base, e, se la loro intersezione è costituita dal solo ${O}$ (a proposito, il fatto che sono linearmente indip non c'entra con l'intersezione data dal solo vettore zero, vero?), allora $R^(2)$ è costituito da elementi che si possono ottenere sommando un elemento del sottospazio generato da uno e un elemento del sottospazio generato dall'altro.
"Lavinia Volpe":
Però non ho capito questo:
Per ogni sottospazio W esistono molti sottospazi U tali che V sia somma diretta di W e U.
Quello che si intende è che puoi trovare molti sottospazi diversi tali che però rendono la somma ancora diretta.
"Lavinia Volpe":
(a proposito, il fatto che sono linearmente indip non c'entra con l'intersezione data dal solo vettore zero, vero?)
Questo si collega con quanto scritto sopra.
Vale il seguente teorema:
$Sia {v_1,...,v_n}$ una base di $V$ e sia $1<=i<=n$.
Allora $V= langle v_1,...,v_i rangle oplus langle v_(i+1),...,v_n rangle$
Dimostrazione:
i)$ V= langle v_1,...,v_i rangle + langle v_(i+1),...,v_n rangle= langle v_1,...,v_n rangle$
ii) Mostriamo che l'intersezione è il vettore nullo. Cioè $langle v_1,...,v_i rangle cap langle v_(i+1),...,v_n rangle =vec0$
Ma se $sum_(j=1)^(i)a_jv_j=sum_(j=i+1)^(n)beta_jw_j$, allora $alpha_1,...,alpha_i,beta_(i+1),...,beta_n$ sono tutti nulli (per l'indipendenza lineare).
q.e.d
Spero di averti risposto, ciao.
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