Somma diretta e sottospazi

[lorenzo1234567]

Buongiorno, in un esercizio svolto sulla somma diretta viene considerato lo spazio vettoriale $V =$ \( \Re^3 \) e due suoi sottospazi $S=Span((1,0,0)$, $(0,1,0))$ e $T=Span((2,0,0)$, $(0,0,1))$. A un certo punto viene detto che i vettori $w_1=(1,0,0)$ e $ w_2=(0,1,0)$ sono una base di $S$ mentre i vettori $v_1=(2,0,0)$ e $v_2=(0,0,1)$ sono un base di $T$. Ma com'è possibile che una base (ma anche solo un sistema di generatori) sia composto da un numero di vettori inferiore alla dimensione dello spazio che devono costruire (in questo caso \( \Re^3 \))?

[lorenzo1234567]

"Sergio":[quote="Lorenzo_99"]Ma com'è possibile che una base (ma anche solo un sistema di generatori) sia composto da un numero di vettori inferiore alla dimensione dello spazio che devono costruire (in questo caso \( \Re^3 \))?

E ora perché ti perdi in un bicchier d'acqua? Quelle sono basi di sottospazi di $RR^3$, non di $RR^3$.

Semplifico e considero $RR^2$ con base canonica $\{(1,0),(0,1)\}$.
Il sottospazio $X sub RR^2$ con base $\{(1,1)\}$ è costituito da tutti i vettori che hanno come direzione la bisettrice del primo e terzo quadrante. Che male c'è?[/quote]
All'inizio anch'io avevo immaginato che i sottospazi $S$ e $T$ fossero di $RR^2$. Poi però ho visto che i vettori $w_1$, $w_2$, $v_1$, $v_2$ avevano 3 componenti, il che implicava si trovassero nello spazio $RR^3$, che dovrebbe avere una base di 3 elementi. Forse mi sfugge qualcosa?

[Bokonon]

I vettori (1,0,0) e (0,1,0) sono indipendenti, quindi formano una base di un sottospazio di dimensione 2.
Per la precisione si tratta del piano XY, ovvero $z=0$

I vettori (2,0,0) e (0,0,1) sono anch'essi indipendenti, quindi formano una base di un sottospazio di dimensione 2. Per la precisione si tratta del piano XZ, ovvero $y=0$ (si vede anche più chiaramente rimpiazzando (2,0,0) con (1,0,0) dato che sono analoghi).

L'intersezione dei due piani è chiaramente la retta delle X, ovvero lo span[(1,0,0)]

[Bokonon]

"Lorenzo_99":
All'inizio anch'io avevo immaginato che i sottospazi $S$ e $T$ fossero di $RR^2$.

Sono sottospazi vettoriali di $RR^3$ non di $RR^2$

[lorenzo1234567]

"Sergio":[quote="Lorenzo_99"]All'inizio anch'io avevo immaginato che i sottospazi $S$ e $T$ fossero di $RR^2$. Poi però ho visto che i vettori $w_1$, $w_2$, $v_1$, $v_2$ avevano 3 componenti, il che implicava si trovassero nello spazio $RR^3$, che dovrebbe avere una base di 3 elementi. Forse mi sfugge qualcosa?

Se i vettori delle basi di $S$ e $T$ hanno tre componenti, non possono appartenere a $RR^2$ nemmeno piangendo in turco.
$RR^2$ è un prodotto cartesiano, è $RR \times RR$. È cioè un insieme di coppie ordinate del tipo $(x,y)$.
$RR^3$ è invece $RR \times RR \times RR$ (va be', a rigore si potrebbe dire altro ma sorvoliamo). È cioè uno spazio di triple ordinate del tipo $(x,y,z)$.
$RR^2$ NON È un sottospazio di $RR^3$. È un'altra cosa. Gli elementi di $RR^3$ sono triple, nessun sottoinsieme di triple può essere visto come un insieme di coppie. Sono oggetti di natura diversa.
Una base di due vettori di $RR^3$ NON È una base di $RR^2$.

Se non è chiaro continuo [/quote]
Allora, i vettori $v_1=(1,0,0)$ e $v_2=(0,1,0)$ generano un sottospazio di $RR^3$, per la precisione il piano $xy$. Fin qui niente di particolare. Quello che però non mi spiego è come $v_1$ e $v_2$ possano essere una base di un sottospazio di $RR^3$ che ha comunque dimensione 3, e che quindi, per definizione, richiede che la propria base abbia cardinalità 3. No?

[lorenzo1234567]

"Sergio":[quote="Lorenzo_99"]Allora, i vettori $v_1=(1,0,0)$ e $v_2=(0,1,0)$ generano un sottospazio di $RR^3$, per la precisione il piano $xy$. Fin qui niente di particolare. Quello che però non mi spiego è come $v_1$ e $v_2$ possano essere una base di un sottospazio di $RR^3$ che ha comunque dimensione 3, e che quindi, per definizione, richiede che la propria base abbia cardinalità 3. No?

No.
Un sottospazio è uno spazio... con qualcosa in meno.
È del tutto normale che un sottospazio di $RR^3$ abbia dimensione minore di 3 (altrimenti sarebbe un sottospazio "improprio" perché coinciderebbe con $RR^3$).
In uno spazio $RR^3$ puoi rappresentare figure solide (cubi, sfere ecc.), in un suo sottospazio di dimensione 2 solo figure piane.
Così come nulla vieta di rappresentare figure piane nello spazio, invece che sul piano, nulla vieta di avere un sottospazio di $RR^3$ con dimensione 2.[/quote]
Non avevo avevo ben definito il concetto di dimensione, grazie