Somma diretta e base
Ciao a tutti!
Ho un problema nel risolvere quest'esercizio:
Si consideri W1=L(e,f,g) con vettori e=(-1,1,5,4) ; f=(0,3,-2,1); g=(2,7,-16,-5);
Trovare la dimensione e una base di un sottospazio vettoriale W2 di R4 tale che i due sono in somma diretta e questa è pari a R4.
Ho trovato la dimesione di W1 e questa è pari a 2 e visto che, per essere in somma diretta la loro intersezione ha dimensione nulla, ed inoltre la somma delle dimensioni di W1 e W2 deve essere pari a 4, trovo la dimesione di W2, la quale è pari anch'essa a 2.
Ora non capisco come procedere per trovare una base di W2, so che non basta prendere due vettori linearmente indipendenti tra loro ma non ho idea da dove partire,
Grazie a chi mi aiuta
Ho un problema nel risolvere quest'esercizio:
Si consideri W1=L(e,f,g) con vettori e=(-1,1,5,4) ; f=(0,3,-2,1); g=(2,7,-16,-5);
Trovare la dimensione e una base di un sottospazio vettoriale W2 di R4 tale che i due sono in somma diretta e questa è pari a R4.
Ho trovato la dimesione di W1 e questa è pari a 2 e visto che, per essere in somma diretta la loro intersezione ha dimensione nulla, ed inoltre la somma delle dimensioni di W1 e W2 deve essere pari a 4, trovo la dimesione di W2, la quale è pari anch'essa a 2.
Ora non capisco come procedere per trovare una base di W2, so che non basta prendere due vettori linearmente indipendenti tra loro ma non ho idea da dove partire,
Grazie a chi mi aiuta
Risposte
ciao,
deve essere che $W_1 + W_2 = R^4$ e $W_1 \cap W_2=vec0$.
Poiché $W_1$ ha dimensione 2, dalla formula di Grassmann (considerando che la somma deve essere diretta e pertanto $dim (W_1 \cap W_2)=0$) si ha che deve essere $dim(W_2)=2$.
Dobbiamo prendere però due vettori linearmente indipendenti $v_1,v_2$ tali che con $W_1$ generano $R^4$, ma la loro intersezione con $W_1$ è il vettore nullo.
Questi vettori possono essere: $((1),(0),(0),(0))$ e $((0),(0),(0),(1))$.
deve essere che $W_1 + W_2 = R^4$ e $W_1 \cap W_2=vec0$.
Poiché $W_1$ ha dimensione 2, dalla formula di Grassmann (considerando che la somma deve essere diretta e pertanto $dim (W_1 \cap W_2)=0$) si ha che deve essere $dim(W_2)=2$.
Dobbiamo prendere però due vettori linearmente indipendenti $v_1,v_2$ tali che con $W_1$ generano $R^4$, ma la loro intersezione con $W_1$ è il vettore nullo.
Questi vettori possono essere: $((1),(0),(0),(0))$ e $((0),(0),(0),(1))$.
Aggiungo un osservazione: se consideriamo una base di uno spazio $V$ come un insieme di vettori linearmente indipendenti allora tutte le possibili partizioni di esso forniscono una famiglia di sottospazi in somma diretta fra loro: questi sottospazi sono quelli generati da ogni singolo blocco della partizione.
in virtù di questo se completi la base di $W_1$ ad una base di $R^4$, otterrai la base del sottospazio cercato, proprio come ha fatto feddy.
in virtù di questo se completi la base di $W_1$ ad una base di $R^4$, otterrai la base del sottospazio cercato, proprio come ha fatto feddy.
hai fatto benissimo ad aggiungerlo !! Non so quante volte la gente lo dimentica 
Muchas gracias 
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