Somma diretta e applicazioni lineari

[Seneca1]

Sia $p : V -> V$ una applicazione lineare tale che $p ° p = p$.

Dimostrare che si può scrivere $V$ come somma diretta di $Im(p)$ e $Ker(p)$.


Dimostrazione:

Per un lemma noto, so che uno spazio vettoriale $V$ si può scrivere come somma diretta di due sottospazi $W, W'$ se e solo se un generico vettore $v$ di $V$ si può scrivere come somma di un vettore $w$ di $W$ e un vettore $w'$ di $W'$.


Sia $v in V$. Suppongo che $v = p(v') + v''$

laddove $p(v') in Im(p)$ e $v'' in Ker(p)$.

Applico $p$, allora:

$p(v) = p(p(v') + v'')$

Ma $p$ è lineare, quindi

$p(v) = p(p(v')) + p(v'')$

Ma $p°p(x) = p(x)$ e $v'' in Ker(p)$ , allora

$p(v) = p(v') + 0$

$Rightarrow p(v) = p(v')$

$Rightarrow v = v'$

Cosa concludo ora? Avrei la tentazione di dire che, poiché $v$ e $v'$ sono due vettori arbitrari di $V$, la mia supposizione ($v = p(v') + v''$) sia sempre vera.

[Paolo902]

Ave

Ho letto un po' rapidamente ma la prima via che mi è venuta in mente è per assurdo.

Mi pare opportuno precisare un punto della tua definizione: va bene quel che dici tu, ricordati però che se la somma è diretta, la decomposizione di un vettore come somma di altri due è unica.

Probabilmente però sai anche che due sottospazi sono in somma diretta sse la loro intersezione è banale (= ridotta al solo vettore nullo). Con questa caratterizzazione tutto diventa più facile: supponi per assurdo che ci sia un vettore $x$ non nullo in $"Im" p nn "Ker" p$. Allora...

[Seneca1]

"Paolo90":Ave

Ho letto un po' rapidamente ma la prima via che mi è venuta in mente è per assurdo.

Mi pare opportuno precisare un punto della tua definizione: va bene quel che dici tu, ricordati però che se la somma è diretta, la decomposizione di un vettore come somma di altri due è unica.

Probabilmente però sai anche che due sottospazi sono in somma diretta sse la loro intersezione è banale (= ridotta al solo vettore nullo). Con questa caratterizzazione tutto diventa più facile: supponi per assurdo che ci sia un vettore $x$ non nullo in $"Im" p nn "Ker" p$. Allora...

Perfetto, ci provo.

Sia $v in "Im"(f) nn "Ker"(p)$

1) $v in "Ker"(f) Rightarrow p(v) = 0$

2) $v in "Im"(f) Rightarrow EE v'$ t. c. $v = p(v')$

$Rightarrow p(v) = p(p(v'))$ e per come è definita la $p$, abbiamo:

$p(v) = p(v')$, ma allora necessariamente $v = 0$ .



Ho seguito l'hint che mi hai dato, ma niente dimostrazione per assurdo. Così dovrei aver dimostrato che, se c'è un vettore in $"Im"(f) nn "Ker"(p)$, questo è "costretto" ad essere il vettore nullo. Ma un vettore c'è sicuramente, perché l'intersezione di sottospazi è un sottospazio (che è non vuoto).

Giusto?

[dissonance]

Scusate ragazzi io avrei un hint di natura diversa. Perché non usare la ovvia identità

$x=(x-Px)+Px$?

[Seneca1]

"dissonance":Scusate ragazzi io avrei un hint di natura diversa. Perché non usare la ovvia identità

$x=(x-Px)+Px$?

Non ci credo.

Dai, è troppo semplice così.

[Seneca1]

Comunque cosa significa "ogni vettore si può scrivere in maniera unica come.." ?

Cioè che $forall v in V$ esistono e sono unici i due vettori (uno del Kernel e uno dell'Immagine) tali che la loro somma sia $v$ ?

[dissonance]

Si. Infatti io suggerivo di verificare direttamente questa definizione invece di quella che diceva Paolo (le due sono equivalenti, of course).

[Seneca1]

Grazie infinite ad entrambi, Dissonance e Paolo.