Somma diretta con intersezione.
Buonasera,
In $RR^2$ considero i seguenti sottospazi vettoriali:
banali : $RR^2$ e ${O}$
non banali : $U={(x,0)in RR^2: x in RR}$ , $W={(0,y)in RR^2:y in RR}$ e $RR_v={cv in RR^2:c in RR}$
Risulta che $RR^2 cap {O}= {O} $ cioè la somma è diretta, invece per gli altri procedo cosi per verificare che la somma è diretta:
Siano $U={(x,0)in RR^2: x in RR}$ , $W={(0,y)in RR^2:y in RR}$ sottospazi di $RR^2$ chiediamoci se la loro somma è diretta il che equivale a dire $U cap W={O} $. In tal caso considero $alpha=(a,b) in RR^2 $ con $a,b in RR$ risulta $alpha in U cap W <=> alpha in U, alpha in W $ allora:
per definizione di intersezione deve risultare che $(a,0)=(0,b)$ per cui si ha $(a-0,0-b)=(0,0)$, quest'ultima è verificata per $a=0$ e $b=0$. Ne segue che le componenti del vettore $alpha$ sono tutte nulle ossia $alpha=(0,0)$. Dall'arbitrarietà di $alpha$ si ha la tesi, cioè che la somma è diretta.
Adesso chiediamoci se la somma risulta diretta di $RR_v$ con $U$ (si può procedere in modo analogo con $W$) quindi equivale a chiedersi se $RR_v cap U ={O} $. In tal caso considero $beta=(a,b) in RR^2 $ con $a,b in RR$ risulta $beta in RR_v cap W <=> beta in U, beta in W $ allora:
per definizione di intersezione deve risultare $(ca,cb)=(a,0)$ quindi $(ca-a,cb)=(0,0)$, questa è verificata in due distinti modi
1) $a=0$ e $b=0$
2) $c=1$ e $b=0$ e $ a in RR$
Ne segue che non viene soddisfatta la definizione di somma diretta, per cui la somma di $RR_v$ con $W$ non è diretta.
Ai posteri l'ardua sentenza.
In $RR^2$ considero i seguenti sottospazi vettoriali:
banali : $RR^2$ e ${O}$
non banali : $U={(x,0)in RR^2: x in RR}$ , $W={(0,y)in RR^2:y in RR}$ e $RR_v={cv in RR^2:c in RR}$
Risulta che $RR^2 cap {O}= {O} $ cioè la somma è diretta, invece per gli altri procedo cosi per verificare che la somma è diretta:
Siano $U={(x,0)in RR^2: x in RR}$ , $W={(0,y)in RR^2:y in RR}$ sottospazi di $RR^2$ chiediamoci se la loro somma è diretta il che equivale a dire $U cap W={O} $. In tal caso considero $alpha=(a,b) in RR^2 $ con $a,b in RR$ risulta $alpha in U cap W <=> alpha in U, alpha in W $ allora:
$alpha in U <=> alpha=(a,0)$ , $alpha in W <=> alpha=(0,b)$
per definizione di intersezione deve risultare che $(a,0)=(0,b)$ per cui si ha $(a-0,0-b)=(0,0)$, quest'ultima è verificata per $a=0$ e $b=0$. Ne segue che le componenti del vettore $alpha$ sono tutte nulle ossia $alpha=(0,0)$. Dall'arbitrarietà di $alpha$ si ha la tesi, cioè che la somma è diretta.
Adesso chiediamoci se la somma risulta diretta di $RR_v$ con $U$ (si può procedere in modo analogo con $W$) quindi equivale a chiedersi se $RR_v cap U ={O} $. In tal caso considero $beta=(a,b) in RR^2 $ con $a,b in RR$ risulta $beta in RR_v cap W <=> beta in U, beta in W $ allora:
$beta in RR_v <=> beta=(ca,cb)$ , $beta in W <=> beta=(a,0)$
per definizione di intersezione deve risultare $(ca,cb)=(a,0)$ quindi $(ca-a,cb)=(0,0)$, questa è verificata in due distinti modi
1) $a=0$ e $b=0$
2) $c=1$ e $b=0$ e $ a in RR$
Ne segue che non viene soddisfatta la definizione di somma diretta, per cui la somma di $RR_v$ con $W$ non è diretta.
Ai posteri l'ardua sentenza.
Risposte
La somma di due sottospazi di dimensione \( 1 \) di uno spazio di dimensione \( 2 \) è sempre diretta (a meno che non siano entrambi lo stesso spazio). Questo segue dalla formula di Grassmann: se \( V \) è "lo spazio", e \( U \) e \( W \) sono "i sottospazi", hai \[
\dim {U + W} = 2 - \dim{U\cap W}
\]dove appunto se \( \dim{U\cap W} \) può essere solo \( 0 \) (somma diretta) o \( 1 \) (dove allora i sottospazi sono uguali).
Alla luce di ciò: quando \( \mathbb R^2\neq\mathbb R v\oplus W \)?
\dim {U + W} = 2 - \dim{U\cap W}
\]dove appunto se \( \dim{U\cap W} \) può essere solo \( 0 \) (somma diretta) o \( 1 \) (dove allora i sottospazi sono uguali).
Alla luce di ciò: quando \( \mathbb R^2\neq\mathbb R v\oplus W \)?
Ciao Marco, grazie per la risposta... ho sempre lo stesso problema... cioè al concetto di dimensione non lo posso applicare perché non ci sono arrivato. Posso dirti che sugli appunti del prof.. ho la caratterizzazione dell'intersezione ossia quella proposta..
Ciao e grazie
Ciao e grazie
\( \newcommand\pt[1]{\big(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\big)} \)Allora va bene quello che hai scritto all'inizio. Se \( v = \pt{a\\b} \) è un vettore di \( \mathbb R^2 \) che sta in \( U\cap V \), dev'essere \( a = b = 0 \), quindi quell'intersezione è banale. Che sia \( \mathbb R^2 = U + W \) poi è ovvio, ok.
Per l'ultimo punto: il sottospazio \( \mathbb R\pt{x\\y} \) è la retta "passante per \( \pt{0\\0} \) e per la punta di \( \pt{x\\y} \)" (se \( \pt{x\\y} \) è una freccina), quindi, a meno che non non sia \( \pt{x\\y} = \alpha\pt{0\\1} \) per qualche coefficiente \( \alpha\in\mathbb R \), (o \( \pt{x\\y} = \pt{0\\0} \), vabbè) hai ancora una somma diretta.
p.s. Nota che \( U \) è l'asse delle ascisse, e \( W \) quello delle ordinate.
Per l'ultimo punto: il sottospazio \( \mathbb R\pt{x\\y} \) è la retta "passante per \( \pt{0\\0} \) e per la punta di \( \pt{x\\y} \)" (se \( \pt{x\\y} \) è una freccina), quindi, a meno che non non sia \( \pt{x\\y} = \alpha\pt{0\\1} \) per qualche coefficiente \( \alpha\in\mathbb R \), (o \( \pt{x\\y} = \pt{0\\0} \), vabbè) hai ancora una somma diretta.
p.s. Nota che \( U \) è l'asse delle ascisse, e \( W \) quello delle ordinate.
"marco2132k":
\( \newcommand\pt[1]{\big(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\big)} \)Allora va bene quello che hai scritto all'inizio. Se \( v = \pt{a\\b} \) è un vettore di \( \mathbb R^2 \) che sta in \( U\cap V \), dev'essere \( a = b = 0 \), quindi quell'intersezione è banale. Che sia \( \mathbb R^2 = U + W \) poi è ovvio, ok.
Questo è un dubbio che volevo chiarire, cioè sul molti svolgimenti, trovo la seguente affermazione $V=A+B$ con $V$ spazio vettoriale e $A,B$ suoi sottospazi, nello specifico $RR^2=RR_v+U$.
La condizione di essere $V=W+U$ quella che hai scritto anche tu (in questo caso è banale vedere che è verificata essendo che $forall (x,y) in RR^2 $ si ha $(x, y)=(x,0)+(0,y)$ ) è una condizione necessaria per verificare se la somma è diretta o che cosa?
Invece per il secondo punto, non so se ho capito, quando dici "freccina" intendi un vettore della retta applicato nell'origine e di secondo estremo proprio $(x,y)$ ?
Grazie
\( \newcommand\pt[1]{\Bigl(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\Bigr)} \)
Considera ad esempio le rette \( W_1 = \left\langle\pt{0\\0\\1}\right\rangle \) e \( W_2 = \left\langle\pt{1\\2\\3}\right\rangle \) nello spazio \( \mathbb R^3 \): hai sì \( W_1\cap W_2 = 0 \), ma non è vero che \( \mathbb R^3 \) è loro somma diretta.
Per la freccia: intendo che la retta \( \mathbb R\pt{x\\y} \) è la retta che passa per \( \pt{0\\0} \) e il punto \( (0,0) \) di \( \mathbb R^2 \).
"Pasquale 90":Ciò sì. Perché \( V \) sia somma diretta di due suoi sottospazi \( U \) e \( W \) deve intanto essere \( V = U + W \).
[...] è una condizione necessaria per verificare se la somma è diretta o che cosa?
Considera ad esempio le rette \( W_1 = \left\langle\pt{0\\0\\1}\right\rangle \) e \( W_2 = \left\langle\pt{1\\2\\3}\right\rangle \) nello spazio \( \mathbb R^3 \): hai sì \( W_1\cap W_2 = 0 \), ma non è vero che \( \mathbb R^3 \) è loro somma diretta.
Per la freccia: intendo che la retta \( \mathbb R\pt{x\\y} \) è la retta che passa per \( \pt{0\\0} \) e il punto \( (0,0) \) di \( \mathbb R^2 \).
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