Somma diretta con h
Sia U=L{(1,0,1,0)(1,0,0,-1)} e Vh {(x,y,z,t)| 3x+y+ht=hx+3t=0}
Determinare per quale valore h la somma di V e U è diretta
so che teoricamente la somma tra due sottospazi è diretta se la loro intesezione è uguale al vettor nullo,ma come o applico a questo esercizo?
ce qualche buon uomo che me lo svolge da 0...
grazie
Determinare per quale valore h la somma di V e U è diretta
so che teoricamente la somma tra due sottospazi è diretta se la loro intesezione è uguale al vettor nullo,ma come o applico a questo esercizo?
ce qualche buon uomo che me lo svolge da 0...
grazie
Risposte
Comincia a trovare le dimensioni e usare poi la formula di Grassmann.
ho provato a trasformare w in matrice ma fino ad un certo punto:
$x=-3t/h$
$y=3t+ht$
da qua non so come andare avanti...
help me ...
$x=-3t/h$
$y=3t+ht$
da qua non so come andare avanti...
help me ...
Il generico vettore viene quindi $(-3/h t,(3+h)t,t)=t(-3/h,3+h,1)$. Dovresti quindi facilmente capire che $V_h$ ha dimensione $1$ se $h \ne 0$. Se $h=0$ basta sostituire e vedere che succede.
ok fin qui ci siamo...e quindi ho scoperto che per h uguale a 1 Vh ha dimensione 1 per h uguale a 0(verrebbe 3t/h=3t/0=infinito quindi non dovrebbe poter risolversi...correggimi se sbaglio) ora che faccio per mettere in relazione V e U?
Caso $ h=0 $ ; devi sostituire $ h=0 $ nella formula iniziale e quindi ottenere : $3x+y =0 ; t=0 $ e in conclusione il generico vettore vale $ (x,-3x,z,0)$ e la dimensione di $V_0 $ è dunque....
Io farei al solito modo.Poiché i vettori di L sono l.i. allora il generico vettore di U e' dato da
a(1,0,1,0)+b(1,0,0,-1)=(a+b,0,a,-b).Sostituendo nelle equazioni di Vh si ha il sistema:
${(3a+(3-h)b=0),(ha+(h-3)b=0):}$
Ora noi vogliamo che l'unica soluzione di questo sistema sia quella banale a=b=0 e per questo occorre e basta che sia diverso da zero il det della matrice dei coefficienti del sistema medesimo.Tale det è $(h-3)(h+3)$ che evidentemente è non nullo solo per $h !=3,h!=-3$ e questi sono i richiesti valori di h .
Ciao
a(1,0,1,0)+b(1,0,0,-1)=(a+b,0,a,-b).Sostituendo nelle equazioni di Vh si ha il sistema:
${(3a+(3-h)b=0),(ha+(h-3)b=0):}$
Ora noi vogliamo che l'unica soluzione di questo sistema sia quella banale a=b=0 e per questo occorre e basta che sia diverso da zero il det della matrice dei coefficienti del sistema medesimo.Tale det è $(h-3)(h+3)$ che evidentemente è non nullo solo per $h !=3,h!=-3$ e questi sono i richiesti valori di h .
Ciao
questo metodo mi sembra un po strano,non lo avevo mai usato,qualcun altro mi conferma la validita?
Condivido quello che dice manlio, ma bisognerebbe spendere una parola sulle dimensioni.
U è generato da $v1=(1,0,1,0)$ e $v2=(1,0,0,-1)$ quindi ha dimensione 2.
V è generato dalle equazioni 3x+y+ht=0 e hx+3t=0. Dalla seconda, t=-hx/3. Dalla prima, $y=-3x+h^2/3 x$. Il vettore generico è quindi $(x,-3x+h^2/3 x,z,-h/3 x)$. Ne segue che V è generato da $v3=(1,h^2/3-3,0,-h/3)$ e da $v4=(0,0,1,0)$. Questi due vettori sono sempre linearmente indipendenti, quindi anche V ha dimensione 2.
Ora, dire che U e V sono in somma diretta è equivalente a dire che {v1,v2,v3,v4} costituisce una base di $k^4$ (dove k è il campo di base, immagino sia $k=RR$ o $k=CC$). Quindi mettiamo i quattro vettori citati in una matrice 4x4 e imponiamo il non annullarsi del determinante:
$((1,1,0,1),(0,0,0,h^2/3-3),(1,0,1,0),(0,-1,0,-h/3))$
Si vede subito (guardando la seconda riga) che l'annullarsi di $h^2/3-3$ può essere cruciale. Lo si verifica constatando che il determinante è proprio $h^2/3-3$, e quindi i vettori v1, v2, v3, v4 costituiscono una base se e solo se $h^2/3-3$ non si annulla, come ha detto manlio.
Per inciso, un numero diviso per zero non fa infinito. Zero non è invertibile, non si può dividere per zero
Ciao.
U è generato da $v1=(1,0,1,0)$ e $v2=(1,0,0,-1)$ quindi ha dimensione 2.
V è generato dalle equazioni 3x+y+ht=0 e hx+3t=0. Dalla seconda, t=-hx/3. Dalla prima, $y=-3x+h^2/3 x$. Il vettore generico è quindi $(x,-3x+h^2/3 x,z,-h/3 x)$. Ne segue che V è generato da $v3=(1,h^2/3-3,0,-h/3)$ e da $v4=(0,0,1,0)$. Questi due vettori sono sempre linearmente indipendenti, quindi anche V ha dimensione 2.
Ora, dire che U e V sono in somma diretta è equivalente a dire che {v1,v2,v3,v4} costituisce una base di $k^4$ (dove k è il campo di base, immagino sia $k=RR$ o $k=CC$). Quindi mettiamo i quattro vettori citati in una matrice 4x4 e imponiamo il non annullarsi del determinante:
$((1,1,0,1),(0,0,0,h^2/3-3),(1,0,1,0),(0,-1,0,-h/3))$
Si vede subito (guardando la seconda riga) che l'annullarsi di $h^2/3-3$ può essere cruciale. Lo si verifica constatando che il determinante è proprio $h^2/3-3$, e quindi i vettori v1, v2, v3, v4 costituiscono una base se e solo se $h^2/3-3$ non si annulla, come ha detto manlio.
"Mercurial":
[...]verrebbe 3t/h=3t/0=infinito [...]
Per inciso, un numero diviso per zero non fa infinito. Zero non è invertibile, non si può dividere per zero
Ciao.
ciao martino grazie per la risposta,quella cosa dell'inifinito è proprio un errore assurdo..... 
...cmq io condivido il metodo che hai utilizzato tu,ma quello utlizzato da manlio ho notato che è piu immediato...,in definitiva posso utilizzare entrambe e otterro sempre il risultato esatto?
ad esempio ne ho appena fatto un'altro :
u= { x-t=0 , y+z+t=0}
Wh={L(h,0,1,1),(1,h,0,1)}
con la medesima domanda.
utilizzando il metodo prima esposto da manlio ho trovato che la somma è diretta per h diverso da 1 e -1,è giusto?
rispondi per favoree a queste 2 domande
...cmq io condivido il metodo che hai utilizzato tu,ma quello utlizzato da manlio ho notato che è piu immediato...,in definitiva posso utilizzare entrambe e otterro sempre il risultato esatto?ad esempio ne ho appena fatto un'altro :
u= { x-t=0 , y+z+t=0}
Wh={L(h,0,1,1),(1,h,0,1)}
con la medesima domanda.
utilizzando il metodo prima esposto da manlio ho trovato che la somma è diretta per h diverso da 1 e -1,è giusto?
rispondi per favoree a queste 2 domande
La risposta ad ambo le domande è "sì", se siamo d'accordo su quello che è stato lasciato sottinteso:
il solo problema è che affinché due sottospazi di un certo spazio V siano in somma diretta non basta che essi abbiano intersezione nulla.
Per esempio, in $RR^3$ i sottospazi $V=\{(x,y,z)\ |\ x-z=0\}$ e $W=< (0,1,1) >$ secondo te sono o non sono in somma diretta? Cioè, è vero o no che $V \oplus W = RR^3$ ?
NB: (edito) mi sono accorto adesso che potremmo avere definizioni diverse di "spazi in somma diretta". Per me dato uno spazio V, due sottospazi U e W sono in somma diretta se la loro intersezione consiste del vettore nullo e se U+W=V. Naturalmente ciò che ho detto va letto alla luce di questo.
il solo problema è che affinché due sottospazi di un certo spazio V siano in somma diretta non basta che essi abbiano intersezione nulla.
Per esempio, in $RR^3$ i sottospazi $V=\{(x,y,z)\ |\ x-z=0\}$ e $W=< (0,1,1) >$ secondo te sono o non sono in somma diretta? Cioè, è vero o no che $V \oplus W = RR^3$ ?
NB: (edito) mi sono accorto adesso che potremmo avere definizioni diverse di "spazi in somma diretta". Per me dato uno spazio V, due sottospazi U e W sono in somma diretta se la loro intersezione consiste del vettore nullo e se U+W=V. Naturalmente ciò che ho detto va letto alla luce di questo.
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