Somma diretta

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in R^4 considero il sotto spazio V= (x1 + x2 2x3 +2x4 = 0)
si indichi un sottospazio W di R^4 tale che V = (1,1,0,-1)^T + W
nota: + indica somma diretta!!!!

ragazzi mi serve una mano!!! grazie!!!

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Cosa indichi con la scrittura (1,1,0,-1)^T? E poi manca un segno (x1 + x2 2x3 +2x4 = 0)-

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x1 + x2 + 2x3 + 2x4 = 0

(1,1,0,-1)^T è una base

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Quindi V è il sottospazio di $R^4$ definito dalla relazione $x_1+x_2+2x_3+2x_4=0$, ovvio che tale sottospazio ha dimensione 3 e una sua base è:

$(-1,1,0,0)$, $(-2,0,1,0)$, $(-2,0,0,1)$

1) Costruiamo il sottospazio ortogonale a $(1,1,0,-1)$, esso sarà individuato dall'equazione $x_1+x_2-x_4=0$.

2) Consideriamo i vettori di V, ovvero quelli caratterizzati dall'equazione $x_1+x_2+2x_3+2x_4=0$.

3) Mettiamo a sistema queste due equazioni, troveremo un sottospazio di dimensione 2, una base sarà:

$(-1,1,0,0)$, $(2,0,-3,2)$

Sembra ovvio che il sottospazio W generato dai vettori $(-1,1,0,0)$, $(2,0,-3,2)$ ha dimensione 2 e soddisfa alle nostre condizioni:

$V=<(1,1,0,-1)>+<(-1,1,0,0), (2,0,-3,2)>$. Dove la somma è diretta


Certo l'esercizio può essere svolto anche in maniera più agevole

a) Osserva che il vettore $(1,1,0,-1)$ appartiene a V perchè soddisfa l'equazione
b) Poi si trova una base di V, essa è: $(-1,1,0,0)$, $(-2,0,1,0)$, $(-2,0,0,1)$
c) Poi si osserva che gli ultimi due vettori $(-2,0,1,0)$, $(-2,0,0,1)$ (forse una qualunque coppia, bisogna verificarlo e per questo ho preferito il metodo precedente) con il primo $(1,1,0,-1)$ sono una terna di vettori indipendenti ( lo verifichi facilmente ). Possiamo concludere che:
$V=<(1,1,0,-1)>+<(-2,0,1,0), (-2,0,0,1)>$. Dove la somma è diretta.

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grazie mille!!!! sei stato molto chiaro!!!!!!!!!!!