Somma Diretta
Buonasera a tutti..
NB: I vettori espressi per righe sono in realtà in colonna, ma non sono capace a scriverli con latex
Ho dei dubbi sulla risoluzione di un problema..
In [tex]C^3[/tex] si consideri il sottospazio [tex]W=[/tex] $ <((i),(i),(1)) , ((i),(i),(2)) >$
Si determini un sottospazio [tex]Z: C^3= W \oplus Z[/tex]
Io ho ragionato così.
I due vettori di W sono lin. indipendenti. La [tex]dim W=2[/tex] quindi [tex]dim W \oplus Z= dim W+dim Z- dim(W \cap Z)[/tex]
Devo trovare [tex]Z=<(#)>[/tex] tale che [tex]W \oplus Z=C^3[/tex] e tale che l'intersezione tra W e Z sia vuota.
Quindi ho preso [tex]Z=[/tex] $< ((0),(i),(0))> $ in quanto non è contenuto in W.
Giusto?
NB: I vettori espressi per righe sono in realtà in colonna, ma non sono capace a scriverli con latex
Ho dei dubbi sulla risoluzione di un problema..
In [tex]C^3[/tex] si consideri il sottospazio [tex]W=[/tex] $ <((i),(i),(1)) , ((i),(i),(2)) >$
Si determini un sottospazio [tex]Z: C^3= W \oplus Z[/tex]
Io ho ragionato così.
I due vettori di W sono lin. indipendenti. La [tex]dim W=2[/tex] quindi [tex]dim W \oplus Z= dim W+dim Z- dim(W \cap Z)[/tex]
Devo trovare [tex]Z=<(#)>[/tex] tale che [tex]W \oplus Z=C^3[/tex] e tale che l'intersezione tra W e Z sia vuota.
Quindi ho preso [tex]Z=[/tex] $< ((0),(i),(0))> $ in quanto non è contenuto in W.
Giusto?
Risposte
scusami ti posso chiedere di scrivere per ebne le formule, che non si capisce poi molto!
Comunque per quello che ho capito mi sembra giusta la risoluzione. Si tratta di completare la base di $W$ ad una base di $CC^3$ il vettore che hai aggiunto sarà la base del tuo supplementare $Z$
Comunque per quello che ho capito mi sembra giusta la risoluzione. Si tratta di completare la base di $W$ ad una base di $CC^3$ il vettore che hai aggiunto sarà la base del tuo supplementare $Z$
Fatto.. Ora? 
Dici che è giusto?
P.S Non sono riuscito a scrivere i vettori per colonne
Dici che è giusto?P.S Non sono riuscito a scrivere i vettori per colonne
Grazie Quindi soluzione corretta?
Quindi soluzione corretta?
Ciao... ti mostro come ho ragionato io
[tex]W=<\left(\begin{matrix}i\\i\\1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}i\\i\\2\end{matrix}\right)>[/tex]
Quindi l'esercizio mi dice che i due vettori generano lo spazio W.
Inoltre primo vettore è non nullo, il secondo non è multiplo del primo quindi i due vettori sono linearmente indipendenti e quindi costituiscono una base di W.
Da questo deduco che
[tex]dim(W)=2[/tex]
C'è un teorema che dice che se
[tex]W \oplus Z=V[/tex]
se prendi una base di W e una base di zeta e le" metti una accanto all'altra" ottieni una base di V
...da qui ottieni due informazioni
1) la dimensione di Z è 1 (perchè deve completare la base di W a una base di C^3)
2) "mettendo accanto" i vettori della base di W e il vettore che stai cercando devi ottenere una famiglia indipendente
considerata la matrice
[tex]\left(\begin{matrix}i&i&z_1\\i&i&z_2\\1&2&z_3\end{matrix}\right)[/tex]
questa deve avere un minore 3x3 con determinante non nullo (il determinante dell'intera matrice deve essere non nullo)
allora noto che
[tex]det\left(\begin{matrix}i&i\\1&2\end{matrix}\right)=i\neq 0[/tex]
quindi scelgo il vettore [tex]\left(\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right)[/tex]
in modo che quando vado a calcolarmi il determinante con laplace rispetto alla terza colonna ottengo
[tex]det\left(\begin{matrix}i&i&1\\i&i&0\\1&2&0\end{matrix}\right)=1*det\left(\begin{matrix}i&i\\1&2\end{matrix}\right)=i\neq 0[/tex]
In conclusione [tex]Z=<\left(\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right)>[/tex]
Spero il ragionamento sia giusto (anche perchè ci ho messo una vita a scriverlo con le formule belline in latex ) e spero che tu abbia capito..se qualche passaggio non ti è chiaro chiedi pure
[tex]W=<\left(\begin{matrix}i\\i\\1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}i\\i\\2\end{matrix}\right)>[/tex]
Quindi l'esercizio mi dice che i due vettori generano lo spazio W.
Inoltre primo vettore è non nullo, il secondo non è multiplo del primo quindi i due vettori sono linearmente indipendenti e quindi costituiscono una base di W.
Da questo deduco che
[tex]dim(W)=2[/tex]
C'è un teorema che dice che se
[tex]W \oplus Z=V[/tex]
se prendi una base di W e una base di zeta e le" metti una accanto all'altra" ottieni una base di V
...da qui ottieni due informazioni
1) la dimensione di Z è 1 (perchè deve completare la base di W a una base di C^3)
2) "mettendo accanto" i vettori della base di W e il vettore che stai cercando devi ottenere una famiglia indipendente
considerata la matrice
[tex]\left(\begin{matrix}i&i&z_1\\i&i&z_2\\1&2&z_3\end{matrix}\right)[/tex]
questa deve avere un minore 3x3 con determinante non nullo (il determinante dell'intera matrice deve essere non nullo)
allora noto che
[tex]det\left(\begin{matrix}i&i\\1&2\end{matrix}\right)=i\neq 0[/tex]
quindi scelgo il vettore [tex]\left(\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right)[/tex]
in modo che quando vado a calcolarmi il determinante con laplace rispetto alla terza colonna ottengo
[tex]det\left(\begin{matrix}i&i&1\\i&i&0\\1&2&0\end{matrix}\right)=1*det\left(\begin{matrix}i&i\\1&2\end{matrix}\right)=i\neq 0[/tex]
In conclusione [tex]Z=<\left(\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right)>[/tex]
Spero il ragionamento sia giusto (anche perchè ci ho messo una vita a scriverlo con le formule belline in latex
) e spero che tu abbia capito..se qualche passaggio non ti è chiaro chiedi pure
Perfetto si si ! Hai usato il teorema di completamento di una base per caso?
E per te.. anche il mio risultato magari è giusto??
E per te.. anche il mio risultato magari è giusto??
si rileggendolo ho notato ora che in sostanza è lo stesso procedimento che ho utilizzato io...hai scelto un altro minore e valori diversi ma va bene.
Io in più ho giustificato come faccio a prendere un vettore "non contenuto in W" te come hai fatto? sei andato a tentativi?
Io in più ho giustificato come faccio a prendere un vettore "non contenuto in W" te come hai fatto? sei andato a tentativi?
A dire la verità ho preso quello a occhio, e poi ho verificato che non è combinazione lineare dei vettori che compongono la base di W
...secondo me ti conviene imparare il metodo che ho usato io, dà un tocco di "rigoroso" all'esercizio:-)
Hai ragione! Troppo brutale il mio procedimento
Tornando alla somma diretta, senza che apro inutilmente un nuovo post, un teorema dice che [tex]dim(W \cap S)[/tex] con [tex]W, S[/tex] sottospazi di uno spazio vettoriale su [tex]K[/tex], deve essere [tex]0[/tex].
Questo vuol dire che se io avessi [tex]S[/tex] sottospazio delle matrici simmetriche in [tex]R^3^x^3[/tex] e [tex]W[/tex] un sottospazio dello stesso spazio vettoriale che contiene una matrice simmetrica, la dimensione dell intersezione è 3.. che è diversa da 0..
Indi non è possibile che
[tex]R^3^x^3=W\oplus S[/tex]
Esatto?
Questo vuol dire che se io avessi [tex]S[/tex] sottospazio delle matrici simmetriche in [tex]R^3^x^3[/tex] e [tex]W[/tex] un sottospazio dello stesso spazio vettoriale che contiene una matrice simmetrica, la dimensione dell intersezione è 3.. che è diversa da 0..
Indi non è possibile che
[tex]R^3^x^3=W\oplus S[/tex]
Esatto?
Credo di si.
Ps..mi sembra che in generale devi stare attento a dire che "somma diretta" implica che l'intersezione dei sottospazi è {0} perchè il teorema di Grasssman vale solo quado i sottospazi da sommare sono due...l'intersezione tra tre o più sottospazi potrebbe essere non vuota anche se la somma è diretta.
Ps..mi sembra che in generale devi stare attento a dire che "somma diretta" implica che l'intersezione dei sottospazi è {0} perchè il teorema di Grasssman vale solo quado i sottospazi da sommare sono due...l'intersezione tra tre o più sottospazi potrebbe essere non vuota anche se la somma è diretta.
Si hai ragione.. ma in questo caso sono due.. Quindi o è sbagliato il testo, o c'è qualcosa che non va
(rif. pg.10 num 2 - es esame)
(rif. pg.10 num 2 - es esame)
si, era una cosa che aggiungevo io per precisare...
ora do un'occhiata all'esercizio
ora do un'occhiata all'esercizio
ma quella matrice non è simmetrica
A è simmetrica se [tex]A=A^T[/tex]
A è simmetrica se [tex]A=A^T[/tex]
Diamine è vero :S Che stupido che sono.. Mi sono mezzo-confuso con matrice triangolare... Grazie Gio' del flash
mmm non è semplicissimo.
allora, io ho trovato che [tex]dim(W)=3[/tex]
infatti
[tex]dim(S)=n(n+1)/2=3(3+1)/2=6[/tex]
[tex]dim(R^\(3x3 \)) =3*3=9[/tex]
[tex]9-6=3[/tex]
[tex]S=<(e_1, 0, 0)(0, e_2, 0)(0, 0, e_3)(e_2, e_1, 0)(e_3 ,0, e_1)(0 ,e_3, e_1)>[/tex]
ora bisogna trovare tre matrici 3x3 che siano indipendenti tra loro e rispetto alla base di S e di cui la matrice data è combinazione lineare.
io a senso direi
[tex]W=<(e_1+e_3,0,0)(0,e_3,e_3)(e_2,e_2,0)>[/tex]
ma come faccio a dimostrare che questi tre vettori non sono combinazioni degli altri????
allora, io ho trovato che [tex]dim(W)=3[/tex]
infatti
[tex]dim(S)=n(n+1)/2=3(3+1)/2=6[/tex]
[tex]dim(R^\(3x3 \)) =3*3=9[/tex]
[tex]9-6=3[/tex]
[tex]S=<(e_1, 0, 0)(0, e_2, 0)(0, 0, e_3)(e_2, e_1, 0)(e_3 ,0, e_1)(0 ,e_3, e_1)>[/tex]
ora bisogna trovare tre matrici 3x3 che siano indipendenti tra loro e rispetto alla base di S e di cui la matrice data è combinazione lineare.
io a senso direi
[tex]W=<(e_1+e_3,0,0)(0,e_3,e_3)(e_2,e_2,0)>[/tex]
ma come faccio a dimostrare che questi tre vettori non sono combinazioni degli altri????
Ok fino a qui ci sono:
Pero' l unica nozione certa che ci puo essere di aiuto è che [tex]R^3^x^3= spazio matrici simmetriche \oplus spazio matrici emisimmetriche[/tex]
Ora è vero che la matrice [tex]A \in W =[/tex]$((1,0,0),(1,1,0),(1,1,1))$ non è emisimmetrica, pero' sappiamo da Teorema che:
[tex]1/2(A+A^T) \in spazio matrici emisimmetriche[/tex]
Resta capire qual è in nesso con il problema...
Pero' l unica nozione certa che ci puo essere di aiuto è che [tex]R^3^x^3= spazio matrici simmetriche \oplus spazio matrici emisimmetriche[/tex]
Ora è vero che la matrice [tex]A \in W =[/tex]$((1,0,0),(1,1,0),(1,1,1))$ non è emisimmetrica, pero' sappiamo da Teorema che:
[tex]1/2(A+A^T) \in spazio matrici emisimmetriche[/tex]
Resta capire qual è in nesso con il problema...
secondo me per sperare che qualcuno ci aiuti devi aprire un nuovo post con il testo dell'esercizio per intero...chi legge qui non capisce nemmeno di cosa stiamo parlando
Ok lo faccio a momenti .. Tanto gia lo so che mi fucilano.. Li sto assillando di post questi giorni!
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