Somma di s.s.v

[megaempire]

Ciao,
sia $V$ uno Spazio vettoriale su $K$ e siano $V_1,...,V_n$ sotto spazi di $V$ allora dovrei dimostrare che

1) $dim(V_1 + ... + V_n) <= dim(V_1) +...+dim(V_n)$ e 2)l'uguaglianza vale se e solo se $V_1 +...+V_n$ è una somma diretta.
Il mio libro il Valabrega la 1 la dimostra cosi :
$V_1$ avrà base $B_1$...$V_n$ avrà base $B_n$ se si fa l'intersezione di queste basi questo sarà un insieme generatore di
$V_1$+...$V_n$ -----> Perché?
Presa per buono buona questa cosa posso ricavarmi una base con il metodo degli scarti successivi e avrò la base di $V_1$+...$V_n$. Da adesso in poi come vado avanti nella dimostrazione?

[Maci86]

L'unione è un insieme generatore, mentre l'intersezione non lo è affatto
Infatti:
$dim(V_1+...+V_n)≤uuu_(i=1)^n dim(V_i)- dim(nnn_(i=1)^n V_i)≤uuu_(i=1)^n dim( V_i)=dim(V_1)+...+dim(V_n)$

[megaempire]

Ok allora perché l'unione è un insieme di generatori?

[Maci86]

Banalmente? Perché ogni insieme di generatori del sottospazio genera il sottospazio, se li uniamo tutti di sicuro generiamo tutti i sottospazi. Ci saranno più vettori di quanti siano necessari infatti la dimensione dell'unione dei sottospazi è minore uguale dell'unione delle dimensione dei sottospazi,basta che un singolo vettore sia generato in più di un sottospazio per rendere la disuguaglianza stretta.

[megaempire]

ok grazie