Somma di sottospazi

[multim]

Salve a tutti, non riesco a risolvere questo esercizio:
Si mostri che in [tex]\mathbb{Q}^4[/tex] si ha:
[tex]\left\langle\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 2 \end{matrix} \right) , \left( \begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right) \right\rangle + \left\langle \left(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{matrix} \right) , \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 \\ -1 \end{matrix} \right) \right\rangle =[/tex] [tex]\left\langle \left(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 2 \end{matrix} \right) , \left(\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right) , \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 \\ -1 \end{matrix} \right) \right\rangle =[/tex] [tex]\left\{ \left(\begin{matrix} x_1 \\ \vdots \\ x_4 \end{matrix} \right) \in \mathbb{Q}^4 : x_2 = 0 \right\}[/tex]
e si dica se la somma è diretta.

Io ho verificato che i generatori sono linearmente in dipendenti, ma non riesco a capire come i primi equivalgano ai secondi. Nella somma va eliminato il vettore [tex]\left(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{matrix} \right)[/tex] poichè diviene generato da una combinazione lineare dei vettori dopo che è avvenuta la somma?

[mistake89]

fai l'unione dei $4$ generatori. Scarta quello linearmente dipendente, ed ottieni i generatori del secondo membro. Determinando le equazioni del sottospazio otterrai l'insieme al terzo membro

[multim]

Grazie mille, avevo verificato male l'indipendenza lineare dei primi 4!