Soluzioni sistema lineare....
Bipna sera a tutti ho il sistema lineare ${(kx+ky+ z+ t=k),(x-ky+z=3k),(2x+2z+kt=4),((1-k)x+2y+t=-2k):}$;
il rango rango della matrice completa dipende da k, e cioè è dato da $2k(k-1)^2$ ora:
il rango è 3 se $k=0;1$ e quindi esistono $oo^(4-3)$ soluzioni cioè $oo^1$ soluzioni;
mentre se $k!=0;1$ il rango è 4 e la soluzione è quella banale $(0,0,0,0)$... però non si trova il libro dice che quando il rango è $4$ abbiamo $oo^1$ soluzioni... dove sbaglio?
il rango rango della matrice completa dipende da k, e cioè è dato da $2k(k-1)^2$ ora:
il rango è 3 se $k=0;1$ e quindi esistono $oo^(4-3)$ soluzioni cioè $oo^1$ soluzioni;
mentre se $k!=0;1$ il rango è 4 e la soluzione è quella banale $(0,0,0,0)$... però non si trova il libro dice che quando il rango è $4$ abbiamo $oo^1$ soluzioni... dove sbaglio?
Risposte
perchè la soluzione banale?? non è mica un sistema omogeneo. Comunque quando il rango è $4$ ci sono $oo^1$ soluzioni perchè x,y,z,t dipendono tutte dal parametro k
e quando il rango è tre sempre $oo^1$ soluzioni abbiamo?
quando il rango è 3 le soluzioni dipendono da 2 parametri... quindi
quindi ha $oo^2$ soluzioni; come si fa a capire questo?
teorema di Rouché-Capelli
..ho provato a risolverlo...e mi viene come te.....
per k diverso da 1 e 0 hai una sola soluzione perchè il rango di A è 4 , quello di A|b è 4 , sono in R4 quindi una sola soluzione...io ho sempre saputo questo....
..scusa se proviamo a ragionare sul teorema della dimensione ..(dimV=dimIm + dimker....!?) avremo:
dimV=4, dimIm=4 (per ogni k diverso da 0 e 1), dimker=(0)...
o no!?....non sono sicurissimo...
se qualcuno mi può confermare o smentire mi farebbe piacere
per k diverso da 1 e 0 hai una sola soluzione perchè il rango di A è 4 , quello di A|b è 4 , sono in R4 quindi una sola soluzione...io ho sempre saputo questo....
..scusa se proviamo a ragionare sul teorema della dimensione ..(dimV=dimIm + dimker....!?) avremo:
dimV=4, dimIm=4 (per ogni k diverso da 0 e 1), dimker=(0)...
o no!?....non sono sicurissimo...
se qualcuno mi può confermare o smentire mi farebbe piacere
ho capito, cioè se il numero di incognite è uguale al rango allora il sistema ammette una sola soluzione, infinite soluzioni se il rango è minore delle incognite, ed in tal caso le soluzioni dipendono da $n-p$ parametri ($n$ sono le incognite e $p$ il rango).....???
ok, ora mi è tutto chiaro prima qualche dubbio avevo....
ma per la risoluzione quale metodo conviene usare di più Cramer o Gauss?
ma per la risoluzione quale metodo conviene usare di più Cramer o Gauss?
sto provando con entrambi ma non mi trovo..... Calcolo la soluzione per $k!=0;1$:
la soluzione per la $x$ è $(2(k-2))/k$...
Invece a me con Cramer esce $(+2k^3-14k^2+20k-8)/(2k(k-1)^2)= (k^3-7k^2+10k-4)/(k(k-1)^2)$ $=((k-1)(k^2-6k+4))/(k(k-1)^2)= (k^2-6k+4)/(k(k-1))$ ho provato a riapplicare Ruffini per scomporlo o trovare le radici e quindi scomporlo ma senza esito positivo dove sbaglio?
la soluzione per la $x$ è $(2(k-2))/k$...
Invece a me con Cramer esce $(+2k^3-14k^2+20k-8)/(2k(k-1)^2)= (k^3-7k^2+10k-4)/(k(k-1)^2)$ $=((k-1)(k^2-6k+4))/(k(k-1)^2)= (k^2-6k+4)/(k(k-1))$ ho provato a riapplicare Ruffini per scomporlo o trovare le radici e quindi scomporlo ma senza esito positivo dove sbaglio?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo