Soluzioni di un sistema lineare
Stabilire al variare del parametro reale $a$ quante soluzioni ammette il seguente sistema lineare
$ { ( (a+1)x1 - (a+1)x2 + x4 = -a ),(x1 -2x2 -x3=0),((a+1)^{2}x2+(a+1)x3+x4=a):} $
b) Determinare se esistono valori di $ a in R $ per il quale l'insieme delle soluzioni è un sottospazio. In tal caso scriverne una base.
Ragazzi vi chiedo aiuto anche per quest'altro esercizio, non riesco bene a capire come risolvere il punto b...Grazie mille...
$ { ( (a+1)x1 - (a+1)x2 + x4 = -a ),(x1 -2x2 -x3=0),((a+1)^{2}x2+(a+1)x3+x4=a):} $
b) Determinare se esistono valori di $ a in R $ per il quale l'insieme delle soluzioni è un sottospazio. In tal caso scriverne una base.
Ragazzi vi chiedo aiuto anche per quest'altro esercizio, non riesco bene a capire come risolvere il punto b...Grazie mille...
Risposte
@sal1989: Ti ricordo che sei già stato richiamato da un moderatore; ti consiglio vivamente di rileggere il regolamento (soprattutto 1.2-1.4) e questo avviso.
"gugo82":
@sal1989: Ti ricordo che sei già stato richiamato da un moderatore; ti consiglio vivamente di rileggere il regolamento (soprattutto 1.2-1.4) e questo avviso.
Il richiamo che mi è stato fatto era per il titolo di un altro post ma ho immediatamente risolto, e poi non sono uno sprovveduto...prima di scrivere l'esercizio ho provato a farlo per i fatti miei ma non riuscendo ad andare avanti posto direttamente l'esercizio nella speranza che qualcuno mi aiuti.
Trovo molto utile questo forum, ma no di certo per AUTO prendermi in giro pensando che qualcuno che mi aiuti nella risoluzione di un esercizio senza averci prima sbattuto la testa per i fatti miei significa averlo davvero risolto.
Non fermarti solo al fatto che ho messo un esercizio, senza mettere il mio "sforzo" ...perchè posso garantirti che dietro ad ogni esercizio che ho messo ci sono ore e ore di sforzo...e due rimandature nell'esame di Geometria....quindi cortesementre prima di darmi dello sprovveduto, prova ad intuire che se un 20enne è arrivato ad utilizzare un forum per risolvere i suoi dubbi...è perchè non ha "altra scelta" o meglio ha molte difficoltà e allora le prova tutte, no di certo per passatempo. Grazie.
"sal1989":
Stabilire al variare del parametro reale $a$ quante soluzioni ammette il seguente sistema lineare
$ { ( (a+1)x1 - (a+1)x2 + x4 = -a ),(x1 -2x2 -x3=0),((a+1)^{2}x2+(a+1)x3+x4=a):} $
b) Determinare se esistono valori di $ a in R $ per il quale l'insieme delle soluzioni è un sottospazio. In tal caso scriverne una base.
Allora ragazzi riuscite ad aiutarmi gentilmente?...sono riuscito a stabilire quante soluzioni ammette ma non capisco come si fa il punto b...non capisco se bisogna trovare l'insieme delle soluzioni ( che variano in base ad $a$ ) oppure sostituire la a che mi determino quando il sistema è compatibile, e poi successivamente non ho idea di come posso verificare che è un sottospazio...pur sapendo come si verifica.... -.-^ aiutatemi
Beh potresti ragionare sul fatto che l'insieme delle soluzione di un sistema lineare è un sottospazio, meglio ancora se il sistema è omogeneo.
"Lorin":
Beh potresti ragionare sul fatto che l'insieme delle soluzione di un sistema lineare è un sottospazio, meglio ancora se il sistema è omogeneo.
Quindi se il sistema è omogeneo ho certezza che l'insieme delle soluzioni è un sottospazio?
Sì, se il sistema è omogeneo l'insieme delle soluzioni è un sottospazio.
Viceversa se l'insieme delle soluzioni è un sottospazio, allora il vettore nullo vi appartiene e il vettore nullo è soluzione solo di sistemi lineari omogenei.
Pertanto dato un sistema lineare ad $n$ incognite, l'insieme delle soluzioni è un sottospazio di $RR^n$ se e solo se il sistema è omogeneo.
Viceversa se l'insieme delle soluzioni è un sottospazio, allora il vettore nullo vi appartiene e il vettore nullo è soluzione solo di sistemi lineari omogenei.
Pertanto dato un sistema lineare ad $n$ incognite, l'insieme delle soluzioni è un sottospazio di $RR^n$ se e solo se il sistema è omogeneo.
[OT, in risposta ad alcune obiezioni sul mio richiamo]
@ sal1989:
Il richiamo che mi è stato fatto era per il titolo di un altro post ma ho immediatamente risolto, e poi non sono uno sprovveduto...prima di scrivere l'esercizio ho provato a farlo per i fatti miei ma non riuscendo ad andare avanti posto direttamente l'esercizio nella speranza che qualcuno mi aiuti.
Trovo molto utile questo forum, ma no di certo per AUTO prendermi in giro pensando che qualcuno che mi aiuti nella risoluzione di un esercizio senza averci prima sbattuto la testa per i fatti miei significa averlo davvero risolto.
Non fermarti solo al fatto che ho messo un esercizio, senza mettere il mio "sforzo" ...perchè posso garantirti che dietro ad ogni esercizio che ho messo ci sono ore e ore di sforzo...e due rimandature nell'esame di Geometria....quindi cortesementre prima di darmi dello sprovveduto, prova ad intuire che se un 20enne è arrivato ad utilizzare un forum per risolvere i suoi dubbi...è perchè non ha "altra scelta" o meglio ha molte difficoltà e allora le prova tutte, no di certo per passatempo. Grazie.[/quote]
Calmo ragazzo.
Ti ho solo richiamato all'ordine; di certo non ti ho esposto a pubblico ludibrio, né ho mai detto che tu sia "uno sprovveduto", né tantomeno ho mai espresso giudizi riguardo la tua persona. Ti assicuro che hai fatto tutto da solo nella risposta citata.
Qui il problema non è se tu hai perso o meno tempo dietro un esercizio: questa è una questione che riguarda la tua coscienza di studente.
Il problema è che su questo forum vigono un regolamento ed una netiquette (i quali danno indicazioni ben precise sul modo in cui è conveniente porre questioni all'attenzione della community) e che tu hai disatteso tali regole.
Non capisco cosa tu abbia da lamentarti se io, facendo il mio dovere, ti ho ricordato che quelle regole esistono.
[/OT]
@ sal1989:
"sal1989":
[quote="gugo82"]@sal1989: Ti ricordo che sei già stato richiamato da un moderatore; ti consiglio vivamente di rileggere il regolamento (soprattutto 1.2-1.4) e questo avviso.
Il richiamo che mi è stato fatto era per il titolo di un altro post ma ho immediatamente risolto, e poi non sono uno sprovveduto...prima di scrivere l'esercizio ho provato a farlo per i fatti miei ma non riuscendo ad andare avanti posto direttamente l'esercizio nella speranza che qualcuno mi aiuti.
Trovo molto utile questo forum, ma no di certo per AUTO prendermi in giro pensando che qualcuno che mi aiuti nella risoluzione di un esercizio senza averci prima sbattuto la testa per i fatti miei significa averlo davvero risolto.
Non fermarti solo al fatto che ho messo un esercizio, senza mettere il mio "sforzo" ...perchè posso garantirti che dietro ad ogni esercizio che ho messo ci sono ore e ore di sforzo...e due rimandature nell'esame di Geometria....quindi cortesementre prima di darmi dello sprovveduto, prova ad intuire che se un 20enne è arrivato ad utilizzare un forum per risolvere i suoi dubbi...è perchè non ha "altra scelta" o meglio ha molte difficoltà e allora le prova tutte, no di certo per passatempo. Grazie.[/quote]
Calmo ragazzo.
Ti ho solo richiamato all'ordine; di certo non ti ho esposto a pubblico ludibrio, né ho mai detto che tu sia "uno sprovveduto", né tantomeno ho mai espresso giudizi riguardo la tua persona. Ti assicuro che hai fatto tutto da solo nella risposta citata.
Qui il problema non è se tu hai perso o meno tempo dietro un esercizio: questa è una questione che riguarda la tua coscienza di studente.
Il problema è che su questo forum vigono un regolamento ed una netiquette (i quali danno indicazioni ben precise sul modo in cui è conveniente porre questioni all'attenzione della community) e che tu hai disatteso tali regole.
Non capisco cosa tu abbia da lamentarti se io, facendo il mio dovere, ti ho ricordato che quelle regole esistono.
[/OT]
"sal1989":
Stabilire al variare del parametro reale $a$ quante soluzioni ammette il seguente sistema lineare
$ { ( (a+1)x1 - (a+1)x2 + x4 = -a ),(x1 -2x2 -x3=0),((a+1)^{2}x2+(a+1)x3+x4=a):} $
b) Determinare se esistono valori di $ a in R $ per il quale l'insieme delle soluzioni è un sottospazio. In tal caso scriverne una base.
Per quanto riguarda la discussione, mi sono sentitio attaccato...però evidentemente ho frainteso quindi mi scuso.
Per quanto riguarda l'esercizio quello che non capisco è che dopo aver ridotto a scala la matrice associata ottengo dei valori di $a$ per cui è verificato che il sistema è omogeneo, quindi mi determino al variare del parametro $a$ quante soluzioni ammette il sistema facendo $oo^{(n-r)$ dove r è il rango ed n è il numero di variabili. Ora il problema sta nel punto b, in quanto procedendo col determarmi le soluzioni ( senza quindi andare a sostituire i valori di $a$ per cui il sistema è omogeneo ) ottengo un vettore cosi composto $ ( ( x1 ),( x2 ),( x3 ),( x4)) $ con naturalmente alcune soluzioni che variano al variare del parametro $a$, ora quello che non capisco è...come posso verificare se è un sottospazio, e dunque scriverne una base...non capisco...
Premetto che non so quanto possa esserti utile ciò che ti dico, però ci provo lo stesso.
Come è già stato detto più di una volta in questa discussione, l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare è un sottospazio se e solo se il sistema è omogeneo.
C'è quindi poco da fare: esiste un solo valore di $a$ per cui il sistema è omogeneo, e non è difficile trovarlo.
In questo modo, nel punto b) ti levi dalle scatole il parametro e, forse, è più agevole trovare la base cercata.
P.S. Piccolo richiamo teorico: ti ricordo che il sottospazio che stai cercando (=sol. del sistema omogeneo) si chiama nullspace della matrice i cui elementi sono i coefficienti delle incognite del sistema.
Come è già stato detto più di una volta in questa discussione, l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare è un sottospazio se e solo se il sistema è omogeneo.
C'è quindi poco da fare: esiste un solo valore di $a$ per cui il sistema è omogeneo, e non è difficile trovarlo.
In questo modo, nel punto b) ti levi dalle scatole il parametro e, forse, è più agevole trovare la base cercata.
P.S. Piccolo richiamo teorico: ti ricordo che il sottospazio che stai cercando (=sol. del sistema omogeneo) si chiama nullspace della matrice i cui elementi sono i coefficienti delle incognite del sistema.
"Paolo90":
Premetto che non so quanto possa esserti utile ciò che ti dico, però ci provo lo stesso.
Come è già stato detto più di una volta in questa discussione, l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare è un sottospazio se e solo se il sistema è omogeneo.
C'è quindi poco da fare: esiste un solo valore di $a$ per cui il sistema è omogeneo, e non è difficile trovarlo.
In questo modo, nel punto b) ti levi dalle scatole il parametro e, forse, è più agevole trovare la base cercata.
P.S. Piccolo richiamo teorico: ti ricordo che il sottospazio che stai cercando (=sol. del sistema omogeneo) si chiama nullspace della matrice i cui elementi sono i coefficienti delle incognite del sistema.
Quindi in teoria se io sostituisco il valore $a$ per cui il sistema è omogeneo, nelle soluzioni che ho ottenuto...ho che le soluzioni ottenuta è sottospazio, ora resta solo un problema...come me la determino questa maledetta base!? -.-^^
Dovrei riscrivere la matrice associata al sistema sostituendo il valore di $a$ e quindi...trovarmi dei vettori lineramente indipendenti? -.-^
P.S. Spero di non offendere nessuno se scrivo bagianate
...ehehe
"sal1989":
Stabilire al variare del parametro reale $a$ quante soluzioni ammette il seguente sistema lineare
$ { ( (a+1)x1 - (a+1)x2 + x4 = -a ),(x1 -2x2 -x3=0),((a+1)^{2}x2+(a+1)x3+x4=a):} $
b) Determinare se esistono valori di $ a in R $ per il quale l'insieme delle soluzioni è un sottospazio. In tal caso scriverne una base.
Ragazzi vi riscrivo perchè ancora non sono riuscito a togliere i miei dubbi. Allora...avendo questo sistema lineare, per verificare quante soluzioni amette al variare di $a$ mi determino la matrice associata e verifico che $rg AB = rg B$ dove rispettivamente A è la matrice completa, e B la matrice senza termini noti.
Dunque ottengo:
MATRICE COMPLETA = $ ( ( a-1 , -a+1 , 0 , 1 , 2-a ),( 1 , -2 , -1 , 0 , 0),( 0 , (a+1)^{2} , a-1 , 1 , a-2 ) ) $
Andando a ridurre a scala ottengo dunque che
MATRICE COMPLETA RIDOTTA A SCALA = $ ( ( 1 , -2 , -1 , 0 , 0 ),( 0 , a-1 , a-1 , 1 , 2-a),( 0 , 0 , (a-1)(a-2) , -a+2 , a(-2+a) ) ) $
quindi avrò che ponendo diversi da 0 i termini che variano con $a$ presenti nella diagonale principale verifico al variare di $a$ quante soluzioni il sistema ammette in quanto se è compatibile potrò fare $ oo^{n - r} $ dove n è il numero di incognite e r è il rango della matrice....e quindi ottengo che
per $a=1$ il sistema è incompatibile e quindi non ottengo alcuna soluzione perchè $rg AB != rg B$
per $a=2$ ottengo invece che il sistema è compatibile e quindi ammette $ oo^{4 - 2} = oo^{2} $ soluzioni
Quello che non capisco adesso è:
1) Visto che l'esercizio mi richiede di determinarmi "se esistono valori di a∈R per il quale l'insieme delle soluzioni è un sottospazio. In tal caso scriverne una base" cosa devo fare?
1a) Continuo col determinarmi le soluzioni del sistema col metodo di sostituzione ovvero risolvendo il sistema dato dai coefficenti della matrice completa ridotta a scala ottenendo :
$ { ( x1 -2x2 - x3 = 0 ),( (a-1)x2 + (a-1)x3 + x4 =2-a ),( (a-1)(a-2)x3 + (2-a)x4 = a(-2+a) ):} $
e quindi come soluzione ottengo il vettore $ (( x1) , (x2) , (x3) , (x4)) = (( 9a-4-9a^{2}-ax4) , (2-2a-x4) , ((a // a+1)-(2-a)x4) , (x4)) $ ( praticamnte calcoli assurdi, impossibile, e pazzeschi...
) Ora, domanda, una volta che mi determino questa soluzione come vedo se è sottospazio!?
2) Altra domanda, per determinare semplicemente una base di questo sistema lineare...prendo le colonne dove ho i pivot dalla matrice ridotta? Ovvero guardando sempre questo esercizio avrei che una base del sistema è
$ {((a-1) , (1) , (0)), ((-a+1) , (-2) , ((a-1)^{2})),((0) , (1) , (a-1))} $ perchè i PIVOT sono rispettivamente nella 1°, 2°, 3° colonna della MATRICE COMPLETA RIDOTTA?
GRAZIE MILLE A TUTTI SPERO RIUSCIATE AD AIUTARMI PERCHè MI BLOCCO E NON RIESCO AD ANDARE AVANTI...
"Sergio":
Direi che i casi sono due:
a) ti piace maledettamente complicarti la vita (ognuno ha i suoi gusti);
b) hai cominciato ad affrontare algebra lineare all'università ma coltivi l'illusione che in fondo si tratta solo di applicare cose che avevi già studiato alle superiori (sarebbe un errore enorme).
Ricominciamo:
[quote="sal1989"]Stabilire al variare del parametro reale $a$ quante soluzioni ammette il seguente sistema lineare
$ { ( (a+1)x1 - (a+1)x2 + x4 = -a ),(x1 -2x2 -x3=0),((a+1)^{2}x2+(a+1)x3+x4=a):} $
b) Determinare se esistono valori di $ a in R $ per il quale l'insieme delle soluzioni è un sottospazio. In tal caso scriverne una base.
Ti è stato detto e ripetuto che perché l'insieme delle soluzioni sia un sottospazio il sistema deve essere omogeneo.
Questo vuol dire che i termini noti devono essere tutti nulli, quindi deve essere $a=0$.
Il sistema diventa:
$ { ( x1 - x2 + x4 = 0 ),(x1 -2x2 -x3=0),(x2+x3+x4=0):} $
A questo punto basta trovare l'insieme delle soluzioni, e non servono "calcoli assurdi, impossibili, e pazzeschi".[/quote]
AH................ehehe sono a bocca aperta, grazie mille ora provvedo e vediamo se riesco
grazie mille
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