Soluzioni del sistema lineare

[paolabile]

Ciao a tutti ho un problema con questo esercizio: Determinare, al variare di lambda appartenente ad R il seguente sistema lineare
$ { (x+y+lambdaz=1 ),( x-y-lambdaz=0),( x+lambday+z=lambda ):} $


Ho provato più volte a risolverlo con l'eliminazione gaussiana, provando più combinazioni ma niente. In particolare mi ritrovo sempre un lambda+ o - qualcosa nella terza riga, seconda colonna che mi blocca. Potreste aiutarmi? Grazie a tutti in anticipo

[shiva28]

Prima di tutto componi la matrice $A$:

$A=( ( 1 , 1 , lambda ),( 1 , -1 , -lambda ),( 1 , lambda , 1 ) ) \ \ \ \ \ \ \ $ $ tilde(A)=( ( 1 , 1 , lambda ),( 1 , -1 , -lambda ),( 1 , lambda , 1 ) :}| $ ${: ( 1 ),( 0 ),( lambda ) )$

Calcola il rango di $A$ e $tilde(A) $ in funzione del parametro reale $lambda$.

Si trova che il determinante di $A$ è uguale a zero se $lambda$ vale $-1$ o $1$.

Per $lambda=1$ il rango di $A$ coincide con il rango di $tilde(A) $, quindi per Rouchè-capelli il sistema è compatibile.

Per $lambda=-1$ il rango di $A$ è 2 mentre quello di $tilde(A)$ è 3. Sempre per Rouchè-capelli il sistema è incompatibile.


Procediamo con calcolare le soluzioni del sistema in funzione del parametro $lambda$



Riduco con Gauss

$( ( 1 , 1 , lambda ),( 1 , -1 , -lambda ),( 1 , lambda , 1 ) :}| $ ${: ( 1 ),( 0 ),( lambda ) ) \ \ \ rArr $ $( ( 1 , 1 , lambda ),( 0 , -2 , -2 lambda ),( 0 , lambda-1 , 1-lambda ) :}| $ ${: ( 1 ),( -1 ),( lambda-1 ) )$


$rArr \ \ ( ( 1 , 1 , lambda ),( 0 , 1 , lambda ),( 0 , 1 , (1-lambda)/(lambda-1) ) :}|$ ${: ( 1 ),( 1/2 ),( 1 ) ) \ \ \ rArr $ $( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , lambda ),( 0 , 1 , (1-lambda)/(lambda-1) ) :}| $ ${: ( 1/2 ),( 1/2 ),( 1 ) )$


$rArr \ \ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , lambda ),( 0 , 0, (1-lambda^2)/(lambda-1) ) :}| $ ${: ( 1/2 ),( 1/2 ),( 1/2 ) ) \ \ \ rArr $ $( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , lambda ),( 0 , 0, lambda ) :}| $ ${: ( 1/2 ),( 1/2 ),( 1/2 lambda ) )$


$ rArr \ \ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0, 1 ) :}| $ ${: ( 1/2 ),( 1/2 (1-lambda) ),( 1/2 ) )$


Soluzioni $( ( x ),( y ),( z ) ) =1/2 \ ( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) +lambda \ ( ( 0 ),( -1/2 ),( 0 ) ) \ \ \ \ \ \ \ $ $AA lambda != -1, \ \ \ lambda in mathbb(R) $

[paolabile]

Grazie mille per la tua risposta, ma non ho capito che calcoli hai fatto dalla quinta matrice in poi

[shiva28]

"polloncombinaguai":Grazie mille per la tua risposta, ma non ho capito che calcoli hai fatto dalla quinta matrice in poi

Hai ragione, devo aver sbagliato i conti.
Lo rifaccio al volo su un foglio e posto la foto, non ho molto tempo per scriverlo in modalità math, scusami.

[shiva28]

Ho usato Cramer questa volta.