Soluzione sistema lineare omogeneo
Sono nuovamente alle prese con un problema... c'e' qualcosa che non capisco e sul libro di testo non ci sono esempi e/o ulteriori spiegazioni.
Il sistema e' il seguente:
$x-3y-z=0
$2x+5y+2z=0
$5x-4y-z=0
il cui determinante D=0, che e' la condizione necessaria per risolvere il sistema.
|1 -3 -1|
| 2 5 2 | = (-5+8)+3(-2-10)-(-8-25) = 0 (svolto sulla prima riga del determinante)
| 5 -4 -1|
Ok, allora provo a calcolare il complemento algebrico degli elementi della prima riga, e viene:
A11= -5+8 = 3
A12= -2-10 = -12
A13= -8-25 = -33
che associati ad un coefficiente lambda dovrebbe dare come risultato: x=3L, y=-12L, z=-33L
che e' sbagliato, in quanto il risultato doveva essere: x=-L, y=-4L, z= 11L
L e' il simbolo lambda minuscolo
Scusate le banalita', ma dove sbaglio???????
Il sistema e' il seguente:
$x-3y-z=0
$2x+5y+2z=0
$5x-4y-z=0
il cui determinante D=0, che e' la condizione necessaria per risolvere il sistema.
|1 -3 -1|
| 2 5 2 | = (-5+8)+3(-2-10)-(-8-25) = 0 (svolto sulla prima riga del determinante)
| 5 -4 -1|
Ok, allora provo a calcolare il complemento algebrico degli elementi della prima riga, e viene:
A11= -5+8 = 3
A12= -2-10 = -12
A13= -8-25 = -33
che associati ad un coefficiente lambda dovrebbe dare come risultato: x=3L, y=-12L, z=-33L
che e' sbagliato, in quanto il risultato doveva essere: x=-L, y=-4L, z= 11L
L e' il simbolo lambda minuscolo
Scusate le banalita', ma dove sbaglio???????
Risposte
Probabilmente non sbagli... però prima di fare analisi approfondite, credo che potresti spiegare un "paio" di cose:
1) Cosa significa che un numero reale è "associato ad un coefficiente lambda"?
2) A cosa ti serve calcolare i complementi algebrici?
3) Ma più in generale... qual è il tuo scopo finale? Risolvere il sistema?
1) Cosa significa che un numero reale è "associato ad un coefficiente lambda"?
2) A cosa ti serve calcolare i complementi algebrici?
3) Ma più in generale... qual è il tuo scopo finale? Risolvere il sistema?
"Martino":
Probabilmente non sbagli... però prima di fare analisi approfondite, credo che potresti spiegare un "paio" di cose:
1) Cosa significa che un numero reale è "associato ad un coefficiente lambda"?
2) A cosa ti serve calcolare i complementi algebrici?
3) Ma più in generale... qual è il tuo scopo finale? Risolvere il sistema?
Ok, forse sono stato poco preciso...
1) nel mio testo lambda non e' in effetti un coefficiente, ma una costante arbitraria non nulla che puo' essere associata alle incognite del sistema affinche' si possano trovare le infinite autosoluzioni del sistema stesso (a patto che il determinante sia nullo).
2) trovare i complementi algebrici e' una soluzione del sistema, o meglio mi viene indicata questa.
3) risolvere il sistema con il metodo indicato
grazie
Ok, ora la faccenda mi è un po' più chiara
Non avevo mai visto risoluzioni di sistemi lineari che facessero uso dei complementi algebrici, ma sembra che funzioni...
In ogni caso, mi pare che quando calcoli il secondo complemento tu debba moltiplicare per $-1$, il segno corrispondente alla posizione (1,2) della matrice. In questo modo ottieni il risultato che "doveva essere" moltiplicato per -3. E siccome la soluzione identifica un intero spazio di soluzioni, un fattore moltiplicativo non nullo ha poca importanza (ora che so il significato di L ).
Non avevo mai visto risoluzioni di sistemi lineari che facessero uso dei complementi algebrici, ma sembra che funzioni...
In ogni caso, mi pare che quando calcoli il secondo complemento tu debba moltiplicare per $-1$, il segno corrispondente alla posizione (1,2) della matrice. In questo modo ottieni il risultato che "doveva essere" moltiplicato per -3. E siccome la soluzione identifica un intero spazio di soluzioni, un fattore moltiplicativo non nullo ha poca importanza (ora che so il significato di L
).
Si in effetti il coefficiente algebrico del secondo elemento della prima riga, dovrebbe essere preceduto dal segno meno, pero' avendo gia' il segno meno (-3), allora il segno rimane positivo, o sbaglio?
In ogni caso, non ho comunque capito; tra l'altro ho provato a calcolare i complementi algebrici anche delle altre righe del determinante, ma non riesco a ricavare il risultato indicato.
A proposito, magari avete il testo in questione che e' Istituzioni di matematica, dello Zwirner.
In ogni caso, non ho comunque capito; tra l'altro ho provato a calcolare i complementi algebrici anche delle altre righe del determinante, ma non riesco a ricavare il risultato indicato.
A proposito, magari avete il testo in questione che e' Istituzioni di matematica, dello Zwirner.
"GundamRX91":
Si in effetti il coefficiente algebrico del secondo elemento della prima riga, dovrebbe essere preceduto dal segno meno, pero' avendo gia' il segno meno (-3), allora il segno rimane positivo, o sbaglio?
Credo proprio che sbagli: il complemento algebrico di una matrice quadrata A relativo alla posizione (i,j) è per definizione il determinante della sottomatrice ottenuta eliminando la riga i e la colonna j, moltiplicato per $(-1)^{i+j}$.
Come vedi in questa definizione l'elemento A(i,j) (nel tuo caso il -3) non c'entra proprio per niente
(confronta ciò che hai fatto per A13: se c'entrasse l'elemento, avresti dovuto moltiplicare per A(1,3)=-1 ottenendo 33 anziché -33).Ciò che importa è solo la sua posizione.
ok grazie, ora per il complemento algebrico mi rivedo un attimo il libro....
Comunque, risolta la questione del complemento algebrico, la soluzione del sistema lineare omogeneo mi rimane ancora oscura.... 
Risolta la questione del complemento algebrico hai risolto ogni dubbio, in quanto la tua soluzione e quella "giusta" che hai riportato sono proporzionali. Ciò significa che al variare di L le tue soluzioni
x=3L, y=12L, z=-33L
e quelle "giuste"
x=-L, y=-4L, z= 11L
sono esattamente le stesse (semplicemente il parametro usato nel primo caso è -3 volte quello usato nel secondo).
x=3L, y=12L, z=-33L
e quelle "giuste"
x=-L, y=-4L, z= 11L
sono esattamente le stesse (semplicemente il parametro usato nel primo caso è -3 volte quello usato nel secondo).
Insomma e' piu' semplice di quello che avevo pensato allora...
Grazie per la spiegazione
Grazie per la spiegazione
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