Soluzione sistema lineare

[thedarkhero]

Risolvere il sistema lineare di matrice completa: $sigma=((1,2,1,-1,1,|,1),(0,2,4,1,0,|,2),(-2,3,0,0,4,|,1))$.

Il sistema è riconducibile tramite l'algoritmo di Gauss al sistema equivalente $((1,2,1,-1,1,|,1),(0,2,4,1,0,|,2),(0,0,-8,-7,12,|,0))$.
Essendo 3 equazioni in 5 incognite è possibile porre $X_5=0$ e $x_4=0$, ricavando di conseguenza $x_3=0$, $x_2=1$, $x_1=1$.
Sia quindi $s_0=((1),(1),(0),(0),(0))$ una soluzione particolare del sistema.
L'insieme delle soluzioni del sistema è $S_(sigma)={s_o + k:k\inker(sigma)}$.
Come trovo il nucleo della matrice? Dovrebbe essere l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo...ma come si trova?

[dissonance]

Ma scusa, hai fatto praticamente tutto, hai pure ridotto la matrice per righe e adesso ti blocchi? Devi risolvere ${(x_1+2x_2+x_3-x_4+x_5,=,0), (2x_2+4x_3+x_4,=,0), (-8x_3-7x_4+12x_5,=,0):}$. Prendi la matita e fai il conto, oppure fallo fare al calcolatore con un qualsiasi programma di calcolo simbolico.

P.S.: Questa cosa

Essendo 3 equazioni in 5 incognite è possibile porre $x_5=0$ e $x_4=0$

non l'ho proprio capita, sai? Che cosa vuoi dire?

[thedarkhero]

Avendo più incognite che equazioni posso assegnare un valore ad alcune incognite per ricavare una soluzione particolare. Questa non è l'unica soluzione, ma è una soluzione.
Tutte le altre sono uguali a quella più un elemento del kernel, giusto?

[franced]

"thedarkhero":Risolvere il sistema lineare di matrice completa: $sigma=((1,2,1,-1,1,|,1),(0,2,4,1,0,|,2),(-2,3,0,0,4,|,1))$.

Io ho applicato Gauss e ho trovato

[tex]A=\left( \begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 1 & -1 & 1 & 1 \\[1mm]
0 & 2 & 4 & 1 & 0 & 2 \\[1mm]
0 & 0 & -12 & -\frac{11}{2} & 6 & -4 \end{array} \right)[/tex]

a questo punto pongo [tex]x_4 = t[/tex] e [tex]x_5 = s[/tex] (parametri liberi)
e risolvo il sistema rispetto alle variabili [tex]x_1, x_2, x_3[/tex].

[thedarkhero]

Ho ricontrollato la mia eliminazione di Gauss e mi sembra corretta. Dalla matrice ricavata ottengo come soluzioni:
$((1),(1),(0),(0),(0))+t((1),(18),(7),(-8),(0))+s((1),(6),(-3),(0),(-2))$ ma sostituendo un po di valori (es: t=s=1) nel sistema qualcosa non funziona...non riesco a capire dove sbaglio...

[franced]

Controlliamo i passaggi dell'algoritmo di Gauss:

[tex]\left( \begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 1 & -1 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 4 & 1 & 0 & 2 \\
-2 & 3 & 0 & 0 & 4 & 1
\end{array} \right) \longrightarrow \left( \begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 1 & -1 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 4 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 7 & 2 & -2 & 6 & 3
\end{array} \right) \longrightarrow \left( \begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 1 & -1 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 4 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & -12 & -\frac{11}{2} & 6 & -4
\end{array} \right)[/tex]

ti torna?

[thedarkhero]

Ok, siamo d'accordo. Quindi ricavo la soluzione $((0),(1/3),(1/3),(0),(0))+<((15),(10),(-11),(24),(0)),((1),(-2),(1),(0),(2))>$. Vengono proprio questi numeracci o ho sbagliato di nuovo?

[franced]

"thedarkhero":Ok, siamo d'accordo. Quindi ricavo la soluzione $((0),(1/3),(1/3),(0),(0))+<((15),(10),(-11),(24),(0)),((1),(-2),(1),(0),(2))>$.

Ok, ora ci siamo!

Faccio notare che il nucleo della matrice 3x5 (senza i termini noti) è generato proprio
dai vettori

$((15),(10),(-11),(24),(0))$ e $((1),(-2),(1),(0),(2))$ .

[thedarkhero]

Esatto, era quello il nucleo di cui parlavo all'inizio (errori di calcolo a parte).
Ora passo ad un secondo dubbio:
$((-t,t-1,1,1),(0,t-1,t,1),(2,0,1,5))$ .
Come la riduco con Gauss? Il problema è che a un certo punto mi trovo ad avere le t al denominatore...

[franced]

"thedarkhero":
$((-t,t-1,1,1),(0,t-1,t,1),(2,0,1,5))$

Apri un altro post, chiamandolo "riduzione di Gauss con parametro".