Soluzione in R
Ciao, vorrei chiedere una mano su una domanda che mi sono posto ma su cui non so come rispondermi in modo corretto.
Stavo risolvendo un sistema in cui sono giunto ad avere:
$a_1=(w_2-w_1+a_2)/2$
$a_3=w_1-a_2$
$a_2=t$
Ove a1, a2, a3 sono le incognite e w2 e w2 due parametri che posso scegliere liberi fin dall'inizio e t è il parametro libero dovuto al fatto di avere risolto il sistema per rouche capelli.
Ad ogni modo, la domanda esula un po' da questo ma mi accorgo intuitivamente che in $RR$ dati qualunque a1 a2 a3 trovo sempre t,w1,w2 nei reali che mi rendono vere le equazioni.
La domanda è quindi, come faccio a essere sicuro di questo? Ci ho pensato un po' e mi sono risposto che è dovuto al fatto che ogni equazione ha una incognita che sia t,w1,w2 e quindi ho equazioni del tipo $alpha+x=beta$ e nei reali questo tipo di equazione ha sempre soluzione essendo un gruppo?
In poche parole vorrei capire cosa mi garantisca che dati qualunque a1 a2 a3 numeri leali posso trovare altri numeri reali t w1 w2 che risolvano il problema.
Stavo risolvendo un sistema in cui sono giunto ad avere:
$a_1=(w_2-w_1+a_2)/2$
$a_3=w_1-a_2$
$a_2=t$
Ove a1, a2, a3 sono le incognite e w2 e w2 due parametri che posso scegliere liberi fin dall'inizio e t è il parametro libero dovuto al fatto di avere risolto il sistema per rouche capelli.
Ad ogni modo, la domanda esula un po' da questo ma mi accorgo intuitivamente che in $RR$ dati qualunque a1 a2 a3 trovo sempre t,w1,w2 nei reali che mi rendono vere le equazioni.
La domanda è quindi, come faccio a essere sicuro di questo? Ci ho pensato un po' e mi sono risposto che è dovuto al fatto che ogni equazione ha una incognita che sia t,w1,w2 e quindi ho equazioni del tipo $alpha+x=beta$ e nei reali questo tipo di equazione ha sempre soluzione essendo un gruppo?
In poche parole vorrei capire cosa mi garantisca che dati qualunque a1 a2 a3 numeri leali posso trovare altri numeri reali t w1 w2 che risolvano il problema.
Risposte
Ho visto che è stato spostato l'argomento. Ma non sono convinto sia del tutta corretta algebra lineare. In quanto il mio dubbio non è inerente a rouchee capelli quanto piuttosto al voler comprendere come mai avendo 3 equazioni nei reali (come quelle date), siamo certi che il sistema abbia soluzione variando t,w1 e w2 a piacere.
La risposta mi sembra risiedere nel fattto che ogni singola equazione è del tipo $alpha+x=beta$ cioe ho alpha e beta fissati (parametri) e la soluzione x (nel caso in esempio $a_i$) è sempre possibile. Insomma è dovuto al fatto di aver ridotto ogni singola equazione in quella forma che ha soluzione nel gruppo R?
La risposta mi sembra risiedere nel fattto che ogni singola equazione è del tipo $alpha+x=beta$ cioe ho alpha e beta fissati (parametri) e la soluzione x (nel caso in esempio $a_i$) è sempre possibile. Insomma è dovuto al fatto di aver ridotto ogni singola equazione in quella forma che ha soluzione nel gruppo R?
[xdom="Martino"]Va bene in algebra lineare.[/xdom]
Basta che risolvi il sistema al contrario trattando $a_1,a_2,a_3$ come noti e $t,w_1,w_2$ come incognite.
"Martino":
[xdom="Martino"]Va bene in algebra lineare.[/xdom]
Ciao
, perfetto! Era solo che non volevo fosse stata fraintesa la domanda avendo citato R-C.Ad ogni modo, risolvendo al contrario però ho la medesima domanda, perché $t,w_1, w_2$ sono sicuro che avranno soluzioni?
Non è perché appunto sono in un gruppo? (R,+)?
Prova a risolverlo esplicitamente e lo scoprirai.
Non c'e bisogno di farlo nel senso che io sono partito già da
.....=w1
.....=w2
in realtà
, e poi ho esplicitato le a1, a2, a3, sono solo tonto che non ti capisco 
nel senso che anche riscrivendo di nuovo esplicitamente ritorno al punto di inizio ma il dubbio si risvolta come un calzino: perché w1 e w2 e t posso sempre trovarli?
Nel senso, il problema si pone a parti invertite sia che usi le a_i sia che usi le w_1 e t.
Per questo insistevo col dire, cosa mi fa concludere in generale che effettivamente sisgtemi di quel tipo sono risolvibili, cioè che posso trovare le incognite che voglio?
L'unica cosa "intelligente" mi sembrava rispondendomi: beh perché riesci a mettere per ogni equazione (che ricordiamo sono nei reali) una incognita e due elementi tali da renterla $alpha+x=beta$
.....=w1
.....=w2
in realtà
, e poi ho esplicitato le a1, a2, a3, sono solo tonto che non ti capisco nel senso che anche riscrivendo di nuovo esplicitamente ritorno al punto di inizio ma il dubbio si risvolta come un calzino: perché w1 e w2 e t posso sempre trovarli?
Nel senso, il problema si pone a parti invertite sia che usi le a_i sia che usi le w_1 e t.
Per questo insistevo col dire, cosa mi fa concludere in generale che effettivamente sisgtemi di quel tipo sono risolvibili, cioè che posso trovare le incognite che voglio?
L'unica cosa "intelligente" mi sembrava rispondendomi: beh perché riesci a mettere per ogni equazione (che ricordiamo sono nei reali) una incognita e due elementi tali da renterla $alpha+x=beta$
Non ho capito cosa non hai capito, comunque ti dico un po' di cose che forse ti chiarificheranno la cosa.
Se lo scrivi in forma matriciale, cioè nella forma $Ax=b$ dove $A$ è una matrice quadrata, $x$ è il vettore $((a_1),(a_2),(a_3))$ e $b$ è il vettore $((w_1),(w_2),(t))$, quello che ti stai chiedendo è "se fisso $x$ trovo un unico $b$ che verifica l'equazione? Se fisso $b$ trovo un unico $x$ che verifica l'equazione?" La risposta, in questo caso, è sì ad ambo le domande perché se fai il conto scopri che $A$ è una matrice invertibile (per esempio calcolando il suo determinante), e quindi ad ogni vettore $x$ corrisponde un unico vettore $b$ e viceversa, dato che $x=A^(-1)b$. Trovare $A^(-1)$ è equivalente a risolvere il sistema al contrario (nel senso di cui ti ho detto sopra).
Questo caso è facile, in generale puoi avere per esempio matrici non invertibili, in quel caso l'esistenza di $x$ dato $b$ dipende da $b$.
Se lo scrivi in forma matriciale, cioè nella forma $Ax=b$ dove $A$ è una matrice quadrata, $x$ è il vettore $((a_1),(a_2),(a_3))$ e $b$ è il vettore $((w_1),(w_2),(t))$, quello che ti stai chiedendo è "se fisso $x$ trovo un unico $b$ che verifica l'equazione? Se fisso $b$ trovo un unico $x$ che verifica l'equazione?" La risposta, in questo caso, è sì ad ambo le domande perché se fai il conto scopri che $A$ è una matrice invertibile (per esempio calcolando il suo determinante), e quindi ad ogni vettore $x$ corrisponde un unico vettore $b$ e viceversa, dato che $x=A^(-1)b$. Trovare $A^(-1)$ è equivalente a risolvere il sistema al contrario (nel senso di cui ti ho detto sopra).
Questo caso è facile, in generale puoi avere per esempio matrici non invertibili, in quel caso l'esistenza di $x$ dato $b$ dipende da $b$.
Sì, ma a livello di matrici lo so.
il punto è che non capisco perché ciò funzioni tornando a guardarle come singole equazioni. Quello che voglio dire era che volevo trovare una giustificazione a livello algebrico di una singola equazione.
E la risposta mi sembrava essere che l'invertibilità della matrice porta a tre equazioni (a livello di sistema correlato) del tipo $alpha+x=beta$ e quindi le singole equazioni risultanto risolvibili singolarmente proprio perché ho scelto di lavorare nel gruppo R, dato che questa specifica struttura algebrica consente la risoluzione in x delle singole equazioni.. se non fossi in un gruppo infatti questo non funzionerebbe e neanche a livello di matrice funzionerebbe più.
il punto è che non capisco perché ciò funzioni tornando a guardarle come singole equazioni. Quello che voglio dire era che volevo trovare una giustificazione a livello algebrico di una singola equazione.
E la risposta mi sembrava essere che l'invertibilità della matrice porta a tre equazioni (a livello di sistema correlato) del tipo $alpha+x=beta$ e quindi le singole equazioni risultanto risolvibili singolarmente proprio perché ho scelto di lavorare nel gruppo R, dato che questa specifica struttura algebrica consente la risoluzione in x delle singole equazioni.. se non fossi in un gruppo infatti questo non funzionerebbe e neanche a livello di matrice funzionerebbe più.
Continuo a non capire, non è solo la struttura di gruppo che ti permette di risolvere le equazioni. Come ti dicevo, la risposta alla tua domanda è ottenuta semplicemente risolvendo il sistema al contrario, la struttura di gruppo non c'entra niente.
Per far centrare la struttura di gruppo dovresti dare un intero contesto in cui chiarisci esattamente quali assiomi stai dando per applicabili (ricordando che essere in un gruppo comunque non ti basta perché stai lavorando con due operazioni - somma e prodotto - e non con solo una). Cioè non basta dire "se non fossi in un gruppo" perché non è chiaro cosa stai togliendo. Hai ancora le operazioni di somma e moltiplicazione? Hai ancora le proprietà associativa e distributiva?
Per far centrare la struttura di gruppo dovresti dare un intero contesto in cui chiarisci esattamente quali assiomi stai dando per applicabili (ricordando che essere in un gruppo comunque non ti basta perché stai lavorando con due operazioni - somma e prodotto - e non con solo una). Cioè non basta dire "se non fossi in un gruppo" perché non è chiaro cosa stai togliendo. Hai ancora le operazioni di somma e moltiplicazione? Hai ancora le proprietà associativa e distributiva?
Uhm ci sto ragionando su un po'.
Più che altro volevo dire: (*) se (R,+) gruppo => a+x=b è risolvibile (fin qui non dovrebbero esserci dubbi/errori).
Quindi, mi ero accorto che applicando rouche capelli ed eliminazioni gaussiane in generale diventa risolvibile poiché mi permette di ridurre tutte le equazioni di un sistema a quella "forma", insomma ad es:
a+x=b
a'+x'=b'
a''+x''=b''
(che siano parametri liberi o numeri fissati poco cambia)
E mi dicevo essendo gruppo allora (sicuramente so che) è risolvibile ogni singola equazione p'er quanto sopra riportato (*).
Ovviamente non è detto che non essendolo (gruppo) non lo sia (risolvibile), quello che volevo dire è che proprio perché (R,+) è gruppo so che posso risolvere un sistema di quel tipo perché tramite R-C lo riduco come tale forma.
Più che altro volevo dire: (*) se (R,+) gruppo => a+x=b è risolvibile (fin qui non dovrebbero esserci dubbi/errori).
Quindi, mi ero accorto che applicando rouche capelli ed eliminazioni gaussiane in generale diventa risolvibile poiché mi permette di ridurre tutte le equazioni di un sistema a quella "forma", insomma ad es:
a+x=b
a'+x'=b'
a''+x''=b''
(che siano parametri liberi o numeri fissati poco cambia)
E mi dicevo essendo gruppo allora (sicuramente so che) è risolvibile ogni singola equazione p'er quanto sopra riportato (*).
Ovviamente non è detto che non essendolo (gruppo) non lo sia (risolvibile), quello che volevo dire è che proprio perché (R,+) è gruppo so che posso risolvere un sistema di quel tipo perché tramite R-C lo riduco come tale forma.
Ma puoi dover moltiplicare per costanti, pensa a $2x=1$. Questo lo risolvi dividendo per $2$. Quindi somma e sottrazione non bastano.
In effetti ho semplificato troppo 
, diciamo che la domanda andrebbe riformulata però considerando più correttamente: gruppi $(R,+)$ e $(R-{0},*)$
Insomma, volevo capire se sotto sotto discendesse da quello: l'eliminazione gaussiana mi porta sempre a semplificare in equazioni del tipo a+x=b or ax=b, e poi sfrutto che
se (R,+) gruppo => a+x=b è risolvibile
$(R-{0},*)$ gruppo => ax=b è risolvibile
Quindi sono a cavallo.
A parte l'ignobile semplificazione che mi ero figurato nel penultimo messaggio al solo + volevo dire ciò.
, diciamo che la domanda andrebbe riformulata però considerando più correttamente: gruppi $(R,+)$ e $(R-{0},*)$Insomma, volevo capire se sotto sotto discendesse da quello: l'eliminazione gaussiana mi porta sempre a semplificare in equazioni del tipo a+x=b or ax=b, e poi sfrutto che
se (R,+) gruppo => a+x=b è risolvibile
$(R-{0},*)$ gruppo => ax=b è risolvibile
Quindi sono a cavallo.
A parte l'ignobile semplificazione che mi ero figurato nel penultimo messaggio al solo + volevo dire ciò.
Quello che usi è il fatto che $RR$ è un campo, cioè un anello commutativo unitario i cui elementi diversi da zero sono invertibili.
Ok, ho appena sbirciato campo non avendo ancora raggiunto tale definizione nel contesto dell'algebra (per ora sono ai gruppi). In sostanza mi pare quello che inuitivamente avevo intravisto (detto in brutta maniera sono due gruppi (R,+) e (R−{0},⋅)). (essendo corsi seprarati A.L. e Alebra non c'è perfetto sincronismo ma volevo diciamo mettere assieme due concetti che so)
Ad ogni buon conto, in sostanza usando il termine più corretto "campo", non è del tutto sbagliato quello che volevo dire, un insieme è risolvibile se riesco a portarmi nelle forme ax=b e a+x=b per ogni singola equazione del sistema e poi sfrutto la proprietà di essere campo (quindi tali equazioni hanno soluzioni per via dell'esistenza dell'inverso) dei miei termini delle equazioni.
In sostanza quello che fa l'elimiinazione gaussiana che uso in rouche capelli è riuscire a portarmi a esplicitare in quel modo le varie equazioni del sistema iniziale.
Giusto?
Ad ogni buon conto, in sostanza usando il termine più corretto "campo", non è del tutto sbagliato quello che volevo dire, un insieme è risolvibile se riesco a portarmi nelle forme ax=b e a+x=b per ogni singola equazione del sistema e poi sfrutto la proprietà di essere campo (quindi tali equazioni hanno soluzioni per via dell'esistenza dell'inverso) dei miei termini delle equazioni.
In sostanza quello che fa l'elimiinazione gaussiana che uso in rouche capelli è riuscire a portarmi a esplicitare in quel modo le varie equazioni del sistema iniziale.
Giusto?
Sì esatto, l'algebra lineare è appunto costruita sul concetto di campo, i coefficienti e i valori delle variabili appartengono a un campo base.
Ti ringrazio molto, vedevo infatti nel poter usare l'eliminazione gaussiana il fatto che mi portava dopo la riduzione a scalini ad equazioni risolvibili (tramite inversi), però non ero certo della connessione di quello che chiamavo gruppo (ma era meglio dire campo R con + e *) e l'invertibilità poi delle singole equazioni.
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