Soluzione di un sistema lineare

[stdio93]

Buongiorno a tutti, studiando per un esame mi è venuto sotto mano da risolvere questo sistema di 4 equazioni in 4 incognite:
$ { ( 2p_11+2p_12+2p_21=1 ),( 2p_11-2p_12-2p_22=0 ),( -2p_21-2p_22+2p_11=0 ),( -2p_21+2p_22-2p_12=1 ):} $

Qualcuno saprebbe spiegarmi come risolverlo utilizzando il metodo di riduzione? Perchè ho provato con il metodo di Cramer, ma vengono conti troppo lunghi e la possibilità di errore sale esponenzialmente. Il metodo di sostituzione l'ho scartato a priori, mentre quello del confronto è troppo "incasinato". Apprendo dai testi di cui dispongo che il metodo di riduzione è abbastanza agevole.
Grazie

[minomic]

Ciao, puoi cominciare con lo scrivere la matrice associata al sistema, cioè $$\left[\begin{array}{cccc|c}
2&2&2&0&1\\
2&-2&0&-2&0\\
2&0&-2&-2&0\\
0&-2&-2&2&1
\end{array}\right]$$ e ridurla in forma di Gauss (a scalini), dopo aver controllato che il sistema ammetta soluzione (confrontando il rango della matrice incompleta con quello della matrice completa).

[stdio93]

Ok, credo di aver capito, ma non c'era anche un metodo di riduzione più elementare? Solo per sapere, anche perchè molto probabilmente sbaglio/ricordo male io...

[minomic]

Beh ad esempio puoi fare la sottrazione membro a membro tra la prima e la seconda per eliminare $p_{11}$, ecc. ma questo equivale a fare operazioni di riga sulla matrice, dove tra l'altro le cose sono anche più chiare. Quando poi sei arrivato alla forma triangolare diventa immediato risolvere ciò che resta del sistema.

[stdio93]

Riguardo all'applicazione del metodo di riduzione di gauss, giusto per aver ben chiare le idee, detta la matrice in questione $ A $ : devo innanzitutto sottrarre $ a_11-a_21 $ per ottenere $ 0 $ in posizione $ (1, 1) $ , giusto?

[minomic]

Devi operare per righe (intere), quindi alla secoda riga togli la prima, poi alla terza riga togli la prima, poi...
Quando si parla di sottrazione tra righe si intende ovviamente la sottrazione elemento-per-elemento.

[stdio93]

Grazie mille!