Soluzione con Cramer

[wolphram]

Salve ragazzi, stavo vedendo il teorema di Cramer, e dice che se il determinante della matrice A (nxn) è diverso da zero in tal caso la soluzione ha componenti $(x_1, x_2, .... , x_n)$ con
$x_i=(det(b_i))/(det A)$ unica soluzione.
Volevo chiedervi una curiosità ma $det(b_i)$ sarebbe il determinante della matrice A togliendo l'i-esima riga la j-sima colonna e moltiplicandolo per l'i-esimo termine noto?

Grazie mille per una vostra eventuale delucidazione.

[msc85]

Ciao! La matrice bj è quella che ottieni eliminando la j-esima colonna e sostituendo al suo posto il vettore dei termini noti. Dopodichè ne calcoli il determinante e poi dividi per det(A) e quella è la j-esima componente del vettore soluzione.. chiaro?

[Gi81]

Intanto di solito non si indica con $b_i$. Molto spesso si scrive $A_i$.
Sta ad indicare la matrice $A$ con la $i$-esima colonna sostituita dal vettore dei termini noti.
Penso che un esempio valga più di mille parole.
Abbiamo il sistema matriciale $Ax=b$ con $A=((1,2,1),(0,1,1),(0,2,-1))$ e $b=((3),(1),(-2))$
Si avrà $A_1=((3,2,1),(1,1,1),(-2,2,-1))$; $A_2=((1,3,1),(0,1,1),(0,-2,-1))$; $A_3=((1,2,3),(0,1,1),(0,2,-2))

Se $det(A)!=0$ (in questo caso viene $-3$, le soluzioni saranno ${(x_1=det(A_1)/det(A)),(x_2=det(A_2)/det(A)),(x_3=det(A_3)/det(A)):}$
Ok?

[wolphram]

Grazie mille ragazzi...stupendi come sempre.