[solo rivedere] esercizio di geometria

[indovina]

Ho preso questo esercizio di geometria, e vorrei vedere se il ragionamento va bene:
retta:
$r$: ${(3x-2y-z=8),(2x-y=4);}$
piano:
$Pi$: $x+y-z=0$
punto
$P(3,0,-3)$

Trovare la retta passante per $P$ e perpendicolare a $pi$

$x-x_0=(alpha)*u_1$
$y-y_0=(alpha)*u_2$
$z-z_0=(alpha)*u_3$

sapendo che:
$u_1=(phi)*a$
$u_2=(phi)*b$
$u_3=(phi)*c$

dove: $a=1$ $b=1$ $c= -1$

sostituendo i vari parametri ottengo una relazione del tipo:
$(x-x_0)/a=(y-y_0)/b$
$(x-x_0)/a=(z-z_0)/c$
(a sistema, che non riesco a mettere -.-' )

da cui si ha:
${(b*(x-x_0)=a*(y-y_0)),(c*(x-x_0)=a*(z-z_0))}$
sostituendo con i numeri:
${(x-3=y),(-1*(x-3)=z+3)}$
e dunque:
${(x-y-3=0),(x+z=0)}$


Intersezione tra $r$ e $pi$
Io non ricordo se ci fosse un metodo veloce per farlo, allora ho fatto la banale sostituzione. Però vorrei sapere se esiste un modo più veloce per fare le intersezioni, sul libro del prof non ci sono tanti esempi.

dunque:
$y=2x-4$
$z=3x-2y-8=3x-4x+8-8=-x$

sapendo che:
$x+y-z=0$
sostituendo le due relazioni trovate prima:
$x+2x-4+4x-3x=0$
$4x=4$
$x=1$

sostituendo nelle due:
punto di intersezione sarà: $(1,-2,-1)$
credo vada bene, perchè ho fatto la riprova.

Ci sono degli sbagli, avete qualche suggerimento da darmi su questi due esercizi?
grazie

[egregio]

Ti dico come lo farei io:

1)Trovare la retta passante per P e perpendicolare a π
La condizione di perpendicolarità tra retta e piano alla stessa forma della condizione di parallelismo tra rette (riflettere), dunque ti pasta che i numeri direttori di r siano proporzionali ai numeri direttori di π (metti 1 come fattore di proporzionalità, è sempre il più comodo).
Dunque una terna di numeri direttori della retta che cerchi è $(1,1,-1)$ (numeri direttori di π). Una rappresentazione parametrica della retta, come hai scritto tu è:

$ { ( x=x_0+at ),( y=y_0+bt ),( z=z_0+ct):} $, con ab,c numeri direttori, k parametro e $ (x_0,y_0,z_0) $ coordinate di un generico vettore dello spazio

Imponendo il passaggio per P ottieni:

$ { ( x=3+t ),( y=t),( z=-3-t):} $, da cui ottieni facilmente (ti basta togliere il parametro):
${ ( x-y-3=0),( y+z+3=0):} $

2) Intersezione retta r e piano
Lo puoi risolvere con un semplice sistema lineare studiando il rango della matrice completa e incompleta, se tali matici hanno lo stesso rango puoi applicare un metodo di risoluzione per sistemi lineari (io consiglio sempre gauss nei 3x3, comunque è anche questione di gusti).

[indovina]

"biggest":

2) Intersezione retta r e piano
Lo puoi risolvere con un semplice sistema lineare studiando il rango della matrice completa e incompleta, se tali matici hanno lo stesso rango puoi applicare un metodo di risoluzione per sistemi lineari (io consiglio sempre gauss nei 3x3, comunque è anche questione di gusti).

intendi che io dovrei studiarmi il rango di

$((1,1,-1),(3,-2,-1),(2,-1,0))$

ha stesso rango di:

$((1,1,-1,0),(3,-2,-1,-8),(2,-1,0,-4))$

secondo me hai ragione, dal punto di vista della materia, è più 'fine' usare gauss.
Purtroppo io non ne ho fatti molti, mi piacerebbe capire come si fa.
se hai dei suggerimenti da darmi su questo punto te ne sarei grato!