Sollevamento dell'omotopia

[qwertyuio1]

Ciao a tutti, domani ho l'esame di topologia e... ho un dubbio!
Devo dimostrare che il gruppo fondamentale della circonferenza S1 è Z. L'isomorfismo tra $\pi (S^1)$ e Z associa a [f] il grado di f, questa è una funzione ben definita grazie al teorema di monodromia: due lacci equvalenti hanno lo stesso grado.

Ora per dimostrare il teorema di monodromia si usa un terema di sollevamento che afferma:
Se $F:[0,1]*[0,1]\rightarrow S^1 , F(0,0)=(1,0)$ allora esiste ed è unica $G:[0,1]*[0,1]\rightarrow R , G(0,0)=0 , e*G=F$
dove $e:R\rightarrow S^1 , e(t)=e^{i 2\pi t}$

Ma se questo è il teorema la dim del teor di monodromia non mi torna!
Può essere che si affermi anche che G(0,1)=0?
In questo caso avrei risolto i mie problemi..

Qualcuno conosce questo teorema e mi può dare una mano? Grazie!

[rubik2]

come si fa a fissare il sollevamento unico? prendi il punto $F(0,0)=1$ della circonferenza e un piccolo intorno U in modo che la controimmagine tramite la e sia un'unione disgiunta di aperti $V_j$ omeomorfi ad U tramite le restrizioni di e ovvero $e_(V_j):V_j->U$ sono omeomorfismi (si dice aperto uniformemente rivestito) ora potresti sollevare l'omotopia facendo $e_(V_j)^(-1)*F$ ed otteresti un sollevamento (locale) per ogni aperto $V_j$ quindi hai bisogno di fissarne uno. Quindi consideri la controimmagine di 1 tramite e che è $ZZ$ è inverti nell'aperto che contiene lo 0 (della retta), quindi ora hai un solo aperto fai quell'inversione locale e hai un pezzo di sollevamento che poi completi ripetendo il procedimento su altri aperti. Quindi secondo me la condizione che ti danno è quella giusta, in effetti niente ti vieterebbe di iniziare a sollevare da un altro punto, ma non credo sia questo il problema. Ciao