Sistemi sovradeterminati

[Daniele5]

Salve a tutti volevo sapere soltanto perché i sistemi sovradeterminati(ovvero che hanno più incognite delle equazioni)
non ammettono soluzione?

[andreaciceri96]

Che io sappia un sistema è sovradeterminato quando ha più equazioni che incognite (il contrario di quello che hai scritto).
Tralasciando il fatto che i sistemi omogenei ammetteno sempre la soluzione costituita dal vettore di tutti zeri, il modo più completo e formale di vedere il fatto che dici tu secondo me è il teorema di Rouche-Capelli.

Altrimenti potresti vederla dal punto di vista geometrico, supponi di avere un sistema con 2 incognite e 3 equazioni linearmente indipendenti, puoi interpretare la ricerca delle soluzioni di questo sistema come la ricerca dell'intersezione di tre rette nel piano, intersezione che non esiste visto che nessuna delle tre rette è parallela a causa della loro indipendenza lineare[nota]In realtà credo che parlare di (in)dipendenza lineare delle equazioni sia un abuso di linguaggio, ma ci siamo capiti, giusto?[/nota].
Andando avanti così potresti vedere il caso 3 incognite e 4 equazioni come la ricerca dell'intersezione di 4 rette nello spazio tutte sghembe fra loro, intersezione che anche qui non esiste. E via così.

In generale aggiungere equazioni (linearmente indipendenti) aumenta i vincoli che la soluzione deve rispettare e aggiungere incognite elimina vincoli. Ma ripeto che secondo me tutto questo è più chiaro se lo si vede attraverso il teorema di Rouche-Capelli o comunque vedendola dal punto più matriciale.