Sistemi ortogonali...

[kioccolatino90]

Salve a tutti ho uno spazio vettoriale in $RR^4$ del tipo $V=<(v_1),(v_2),(v_3)>$

e ne devo calcolare l'ortogonale di $V$, che sarebbero tutti quei vettori ortogonali a $V$, e cioè $V^bot= {omega| omega* v=0, AAv in V}$

Ora per far vedere che tutti i vettori i vettori sono ortogonali V basta far vedere che $omega$ è ortogonale alla base di $V$?

[Lorin1]

Si, direi di si. Prova a leggere anche qui http://it.wikipedia.org/wiki/Sottospazio_ortogonale

[kioccolatino90]

quindi ad esempio ho $V=<(1, -1, 1, -1),(1, 3, 1, -2),(2, 2, 2, -3)>$ e devo calcolare $V^bot$ come prima cosa:

-1). calcolo la base $V$ che è $B_V={(1, -1, 1, -1),(1, 3, 1, -2)}$ ora applico $omega=(x,y,z,t)$ ai vettori della base e ho:

${(x-y+z-t=0),(x+3y+z-2t=0):} rarr EE oo^2 soluzioni$

-2). metto questo sistema a matrice e riduco la matrice a scalini:

$((1, -1, 1, -1, 0),(1, 3, 1, -2, 0)) rarr ((1, -1, 1, -1, 0),(0, 4, 0, -1, 0))$ scrivo il sistema equivalente${(x-y+z-t=0),(4y-t=0 rarr y=t/4):}

-3). risolvo il sitema equivalente:

${(x-t/4+z-t=0),(y=t/4):}$ $rarr {(4x-t+4z-4t=0),(y=t/4):} rarr {(x=-4/4z+5/4t),(y=t/4):} rArr {(x=-z+5/4t),(y=t/4):}$

e dunque: $(x,y,z,t)= (-z+5/4t, t/4, z, t), AAz,t in RR $

-4). assegno una volta a $z=1$ e $ t=0$ e una volta $z=0$ e $t=1$ e trovo che la base di $V^bot$ è:


$B_(V^bot) = {(-1, 0, 0, 1, 0),(0, 5/4, 1/4, 0, 1)} ={(-1, 0, 0, 1, 0),(0, 5, 1, 0, 4)}$ e ha dimensione $dimV^bot=2$... giusto?