Sistemi omogenei e spazi vettoriali.
Mi è stato chiesto di dimostrare che i vettori rappresentati dall'insieme delle ennuple soluzioni di un sistema omogeneo rappresentino un sottospazio vettoriale.
Con gli unici elementi che ho a disposizione non riesco a dimostrarlo. Io so che le soluzioni di un sistema omogeneo sono tutte proporzionali ad un numero reale (mi interessano solo i sistemi in campo reale, e quindi le ennuple di numeri reali). Inoltre so che la somma di due vettori $u$ e $v$ appartenenti all'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo, $S_0$, è essa stessa soluzione del sistema omogeneo; come il prodotto di un numero reale per una delle soluzioni del sistema. Infine, so che ogni ennupla di un insieme $K^n$ è combinazione lineare dei vettori fondamentali, ovvero di quelli che costituiscono la base canonica di $K^n$.
Premesso che non so se questi vari assunti siano esatti, come potrei, con gli elementi che ho a disposizione, dimostrare quanto chiedo?
Gli strumenti che ho a disposizione sono sufficienti? O dovrei tener presenti altre cose? Come dimostrare questa che credo sia una banale deduzione(per chi ne sa più di me, chiaramente)?
Con gli unici elementi che ho a disposizione non riesco a dimostrarlo. Io so che le soluzioni di un sistema omogeneo sono tutte proporzionali ad un numero reale (mi interessano solo i sistemi in campo reale, e quindi le ennuple di numeri reali). Inoltre so che la somma di due vettori $u$ e $v$ appartenenti all'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo, $S_0$, è essa stessa soluzione del sistema omogeneo; come il prodotto di un numero reale per una delle soluzioni del sistema. Infine, so che ogni ennupla di un insieme $K^n$ è combinazione lineare dei vettori fondamentali, ovvero di quelli che costituiscono la base canonica di $K^n$.
Premesso che non so se questi vari assunti siano esatti, come potrei, con gli elementi che ho a disposizione, dimostrare quanto chiedo?
Gli strumenti che ho a disposizione sono sufficienti? O dovrei tener presenti altre cose? Come dimostrare questa che credo sia una banale deduzione(per chi ne sa più di me, chiaramente)?
Risposte
Se rileggi quanto hai scritto, ti accorgerai che possiedi già la soluzione. Basta ricordarsi la definizione di sottospazio vettoriale.
Per inciso, non è sempre vero che le soluzioni di un SLO sono definite a meno di un fattore di proporzionalità (o, in altre parole, che il sottospazio ha sempre dimensione 1).
Per inciso, non è sempre vero che le soluzioni di un SLO sono definite a meno di un fattore di proporzionalità (o, in altre parole, che il sottospazio ha sempre dimensione 1).
Grazie dell'intervento, Ivan, ma ho provato a dimostrarmi la cosa, senza buon esito. Poi dipende anche dalla definizione di sottospazio vettoriale che ho io.
Per quanto riguarda la seconda affermazione, che cosa vuol dire: " a meno di un fattore di proporzionalità"?
Per quanto riguarda la seconda affermazione, che cosa vuol dire: " a meno di un fattore di proporzionalità"?
Mi riferivo a questa affermazione: "Io so che le soluzioni di un sistema omogeneo sono tutte proporzionali ad un numero reale (mi interessano solo i sistemi in campo reale, e quindi le ennuple di numeri reali)".
Poiché le soluzioni sono appunto n-uple di numeri reali, la frase rimane poco chiara e ho pensato che volessi intendere che le soluzioni differiscono tra loro per un coefficiente di proporzionalità. Ovvero che fissata una n-upla non nulla (x1,...,xn), tutte e sole le soluzioni sono della forma k(x1,...,xn), con k reale. Comunque...
http://it.wikipedia.org/wiki/Sottospazi ... efinizione
che ti sembra di questa definizione? Ti ci ritrovi? Hai una def. alternativa?
Poiché le soluzioni sono appunto n-uple di numeri reali, la frase rimane poco chiara e ho pensato che volessi intendere che le soluzioni differiscono tra loro per un coefficiente di proporzionalità. Ovvero che fissata una n-upla non nulla (x1,...,xn), tutte e sole le soluzioni sono della forma k(x1,...,xn), con k reale. Comunque...
http://it.wikipedia.org/wiki/Sottospazi ... efinizione
che ti sembra di questa definizione? Ti ci ritrovi? Hai una def. alternativa?
La prima cosa che hai detto mi risulta, cioè quello che avresti capito è proprio quello che ho detto. Forse mi sono lasciato fuorviare da un indizio che mi aveva dato il professore, ma vabbè.
Anche se non riesco a dimostrare che, date due soluzioni (x1, x2, ..., xn) e (y1, y2, ..., yn), proporzionali secondo il numero reale zeta, z(x1+y1, x2+y2, ..., xn+yn), sia soluzione del sistema omogeneo.
La definizione è la stessa di wikipedia, sono andato a controllare.
Ciao e grazie.
Anche se non riesco a dimostrare che, date due soluzioni (x1, x2, ..., xn) e (y1, y2, ..., yn), proporzionali secondo il numero reale zeta, z(x1+y1, x2+y2, ..., xn+yn), sia soluzione del sistema omogeneo.
La definizione è la stessa di wikipedia, sono andato a controllare.
Ciao e grazie.
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